eigenschaft holomorpher fkt'en < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:54 Mo 05.04.2010 | | Autor: | adi87 |
Hallo,
also... Angenommen, man hat eine holomorphe funktion, und deren potenzreihe [mm] \psi(z)=\summe_{i=0}^{\infty} \psi_j z^j [/mm] gegeben. Man weiß:
- konvergenzradius der potenzreihe ist 1
- die potenzreihe besitzt nur reelle koeffizienten.
Kann man dann irgendwie daraus folgern, dass
[mm] \summe_{i=0}^{\infty} [/mm] j [mm] (\psi_j)^2
[/mm]
konvergiert?
wenn ja, könnt ihr mir vlt einen tipp geben, wie??
vielen dank schon im voraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:01 Mo 05.04.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo,
> also... Angenommen, man hat eine holomorphe funktion, und
> deren potenzreihe [mm]\psi(z)=\summe_{i=0}^{\infty} \psi_j z^j[/mm]
> gegeben. Man weiß:
> - konvergenzradius der potenzreihe ist 1
> - die potenzreihe besitzt nur reelle koeffizienten.
>
> Kann man dann irgendwie daraus folgern, dass
> [mm]\summe_{i=0}^{\infty}[/mm] j [mm](\psi_j)^2[/mm]
> konvergiert?
Nein. Die geometrische Reihe [mm] $\psi(z)=\bruch{1}{1-z}$ [/mm] (alle [mm] $\psi_j=1$) [/mm] ist ein Gegenbeispiel.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:39 Mo 05.04.2010 | | Autor: | adi87 |
Vielen Dank shcon mal jetzt für die Antwort.
Aber leider ist meine Frage damit weiterhin nicht beantwortet, weil ich mit Konvergenzradius 1 das folgende meinte:
[mm] \{z \in \IC | |z| \le 1 \}
[/mm]
also sprich 1 mit inbegriffen und die geometrische Reihe konvergiert ja NICHT für 1...
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Hallo [mm] adi87,\\
[/mm]
leider ist damit immer noch nicht klar, was du meinst. Ich versuche mal eine genaue Formulierung:
Gegeben ist eine auf einer offenen Menge $U [mm] \subseteq \mathbb{C}$ [/mm] holomorphe Funktion [mm] $\psi$ [/mm] mit [mm] $U_1(0) [/mm] := [mm] \{z: |z| < 1 \} \subseteq [/mm] U$. Die Funktion [mm] $\psi$ [/mm] wird auf [mm] $U_1(0)$ [/mm] dargestellt durch die Potenzreihe $P(z) = [mm] \sum_{j = 0}^\infty \psi_j z^j$ [/mm] mit Konvergenzradius $R = 1$. Falls du mit der Angabe der Menge [mm] $\{z \in \mathbb{C} | |z| \le 1 \} [/mm] $ meinst, dass zusätzlich $P(z) = [mm] \psi(z)$ [/mm] für $z = [mm] e^{i\varphi}$ [/mm] mit [mm] $\varphi \in [0,2\pi)$ [/mm] gilt, so widerspricht das der Voraussetzung, dass der Konvergenzradius $R = 1$ ist. Falls Du meinst, dass zusätzlich nur $P(1) = [mm] \psi(1)$ [/mm] vorausgesetzt ist, so gibt es wiederum ein Gegenbeispiel: [mm] $\psi(z) [/mm] = Log(1+z) = [mm] \sum_{j=0}^\infty \frac{(-1)^{(j+1)}}{j} z^j$. [/mm] Hab ich das korrekt [mm] interpretiert?\\
[/mm]
(Ich nehme an, es sollte nur $i$ oder nur $j$ in deinen Formeln stehen.)
[mm] \\
[/mm]
Gruß mathfunnel
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