eigenwert und eigenvektor einer matrix < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
Hallo zusammen!!!
Ich bin Student im 2 Semester und steh ziehmlich unter Prüfungsstress!!
Ich habe zwar Übungsaufgaben, weiss aber leider nicht ob meine Ergebnisse richtig sind.Würde mich sehr über Hilfe freuen!!!!!!!
Meine Aufgabe lautet: Man berechne die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix!
[mm] A=\begin{pmatrix}
3 & 0 & 2 \\
0 & 2 & 0 \\
2 & 0 & 3
\end{pmatrix}
[/mm]
Meine Ergebnisse lauten: Eigenwert 1.=3 ; Eigenwert 2.=2 ;Eigenwert 3.=7
Eigenvektor zu [mm] 3.=\vektor{0\\0\\0}
[/mm]
Eigenvektor zu [mm] 2.=\vektor{0\\0\\1}
[/mm]
Eigenvektor zu [mm] 7.=\vektor{0\\0\\0}
[/mm]
Wenn es möglich ist, mir einen kompletten Lösungsweg zu schicken, wenn meiner Ergebnisse falsch sind, würde ich mich sehr freuen!!!! MFG Daniel
|
|
| |
|
Hallo Daniel!
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Ich habe zwar Übungsaufgaben, weiss aber leider nicht ob
> meine Ergebnisse richtig sind.Würde mich sehr über Hilfe
> freuen!!!!!!!
> Meine Aufgabe lautet: Man berechne die Eigenwerte und
> Eigenvektoren der Matrix!
>
> [mm]A=\begin{pmatrix}
3 & 0 & 2 \\
0 & 2 & 0 \\
2 & 0 & 3
\end{pmatrix}
[/mm]
>
>
> Meine Ergebnisse lauten: Eigenwert 1.=3 ; Eigenwert 2.=2
> ;Eigenwert 3.=7
Wie kommst Du darauf? Bei mir ist
[mm]det(A-\lambda E)=(3-\lambda)(2-\lambda)(3-\lambda) + 2\cdot (-2)(2-\lambda)=...=(2-\lambda)(\lambda-5)(\lambda-1)[/mm]
Damit lauten die Eigenwerte [mm] $\lambda_1=2,\lambda_2=5,\lambda_3=1$. [/mm]
> Eigenvektor zu [mm]3.=\vektor{0\\0\\0}
[/mm]
> Eigenvektor zu [mm]2.=\vektor{0\\0\\1}
[/mm]
> Eigenvektor zu [mm]7.=\vektor{0\\0\\0}
[/mm]
Also [mm] $v=\vektor{0\\0\\0}$ [/mm] ist nie ein echter Eigenvektor, denn die Ausgangsgleichung [mm] $Av=\lambda [/mm] v$ wird trivialerweise von diesem $v$ immer gelöst. Das ist aber nicht gefragt. Wenn Deine Gleichung anders nicht lösbar ist, hast Du vorher etwas falsch gemacht. Jetzt sage ich noch was zum Eigenvektor zu [mm] $\lambda_1=2$ [/mm] (bei Dir der zweite). Du musst doch
> [mm]\begin{pmatrix}
1& 0 & 2 \\
0 & 0 & 0 \\
2 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\cdot v=\vektor{0\\0\\0}
[/mm]
lösen. Setzt man Deinen Vektor ein, erhält man aber gerade die dritte Spalte von $A$, und die ist nicht der Nullvektor. Kannst Du Dich selbst verbessern?
Viele Grüße
Brigitte
|
|
|
| |
|
Hallo Brigitte!!!!
Danke für Ihre schnelle Hilfe!!!
Dies sind meine Lösungen für die Eigenvektoren:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 1} [/mm]
x1 + 2x3 = 0
2x1 + x3 =0 x2 = 0 x1 = t ; x3=-2t
[mm] \vec{x} \lambda1 [/mm] = [mm] \vektor{t \\ 0 \\ -2t } [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ -2} [/mm] t
[mm] \pmat{ -2 & 0 & 2 \\ 0 & -3 & 0 \\ 2 & 0 & -2} [/mm]
-2x1 + 2x3 = 0 x2 = 0 ; x1 = t ; x3=t
2x1 - 2x3 =0
2x1 - 2x3 =0
[mm] \vec{x} \lambda2 [/mm] = [mm] \vektor{t \\ 0 \\ t } [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1} [/mm] t
[mm] \pmat{ 2 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 2} [/mm]
2x1 + 2x3 = 0 x2 = 0 x1 = t x1=-t
2x1 + 2x3 = 0
[mm] \vec{x} \lambda1 [/mm] = [mm] \vektor{t \\ 0 \\ -t } [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ -1} [/mm] t
Ich hoffe das die Eigenvektoren richtig sind!!!!
Nur leider weiss ich nicht, wie Sie auf die Eigenwerte [mm] \lambda1 =2,\lambda2 =5,\lambda3 [/mm] =1 kommen??
Mein Problem ist, die Auflösung [mm] (3-\lambda)(2-\lambda)(3-\lambda)+2*(-2)(2-\lambda))?????????????
[/mm]
MFG Daniel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:57 Mi 04.08.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Daniel!
> Hallo Brigitte!!!!
> Danke für Ihre schnelle Hilfe!!!
Du darfst - zumal mit diesem Vornamen - Brigitte sicherlich auch duzen (unterstelle ich jetzt mal). Also, ich heiße Stefan und werde nur auf Behörden mit "Sie" angesprochen. 
> Dies sind meine Lösungen für die Eigenvektoren:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 1}[/mm]
> x1 + 2x3 = 0
> 2x1 + x3 =0 x2 = 0 x1 = t ; x3=-2t
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Daraus folgt nicht [mm] $x_2=0$. [/mm] (Wie kommst du darauf?)
Multiplizieren wir die erste Gleichung mit $2$ und ziehen davon die zweite ab, so folgt:
[mm] $3x_3=0$,
[/mm]
also:
[mm] $x_3=0$.
[/mm]
Setzt man dies in eine der beiden Gleichungen ein, so erhalten wir auch:
[mm] $x_1=0$.
[/mm]
[mm] $x_2$ [/mm] kann dann beliebig gewählt werden (es muss nur [mm] $x_2 \ne [/mm] 0$ gelten, da der Nullvektor kein Eigenvektor ist, nach Definition).
> [mm]\vec{x} \lambda1[/mm] = [mm]\vektor{t \\ 0 \\ -2t }[/mm] =
> [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ -2}[/mm] t
>
>
> [mm]\pmat{ -2 & 0 & 2 \\ 0 & -3 & 0 \\ 2 & 0 & -2}[/mm]
> -2x1 + 2x3 = 0 x2 = 0 ; x1 = t ; x3=t
> 2x1 - 2x3 =0
> 2x1 - 2x3 =0
>
>
>
> [mm]\vec{x} \lambda2[/mm] = [mm]\vektor{t \\ 0 \\ t }[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 1}[/mm]
> t
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm]\pmat{ 2 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 2}[/mm]
> 2x1 + 2x3 = 0 x2 = 0 x1 = t x1=-t
> 2x1 + 2x3 = 0
>
>
>
> [mm]\vec{x} \lambda1[/mm] = [mm]\vektor{t \\ 0 \\ -t }[/mm] =
> [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ -1}[/mm] t
> Ich hoffe das die Eigenvektoren richtig sind!!!!
Fast.  ![[super]](/images/smileys/super.gif "[super]")
> Nur leider weiss ich nicht, wie Sie auf die Eigenwerte
> [mm]\lambda1 =2,\lambda2 =5,\lambda3[/mm] =1 kommen??
> Mein Problem ist, die Auflösung
> [mm](3-\lambda)(2-\lambda)(3-\lambda)+2*(-2)(2-\lambda))[/mm]?????????????
Ausklammern von [mm] $2-\lambda$, [/mm] (in der Klammer) ausmultiplizieren und neu faktorisieren liefert:
[mm] $(3-\lambda)(2-\lambda)(3-\lambda)+2*(-2)(2-\lambda)$
[/mm]
$= [mm] (3-\lambda)^2(2-\lambda) -4(2-\lambda)$
[/mm]
$= [mm] (2-\lambda) \cdot ((3-\lambda)^2 [/mm] - 4)$
[mm] $=(2-\lambda) \cdot [/mm] (9 - [mm] 6\lambda [/mm] + [mm] \lambda^2 [/mm] - 4)$
$= [mm] (2-\lambda) \cdot (\lambda^2 [/mm] - [mm] 6\lambda [/mm] + 5)$
[mm] $=(2-\lambda) \cdot (\lambda [/mm] -5) [mm] \cdot (\lambda [/mm] - 1)$.
Im letzten Schritt musst du halt sehen/rechnen, dass [mm] $f(\lambda):= \lambda^2 [/mm] - 6 [mm] \lambda [/mm] + 5$ die beiden Nullstellen [mm] $\lambda_1=5$ [/mm] und [mm] $\lambda_2 [/mm] = 1$ hat.
Jetzt alles klar? Wenn nicht, dann frage nach, auch wenn ich dir in den nächsten Tagen keine Antwort geben kann (sicherlich aber jemand anderes).
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
|
