eigenwerte ,-vektoren < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:20 Mo 03.12.2007 | | Autor: | Dagobert |
hallo!
hätte ne frage zu folgenden beispiel:
[Dateianhang nicht öffentlich]
hab mir mal über [mm] det(A-\lambda*E) [/mm] die eigenwerte ausgerechnet:
[mm] \lambda_1=2
[/mm]
[mm] \lambda_2=1
[/mm]
[mm] \lambda_3=1
[/mm]
nur dann hab ich ein problem bei den eigenvektoren:
wenn ich mal einsetze [mm] \lambda_1=2:
[/mm]
[mm] (A-\lambda_1*E)*x_1=0
[/mm]
--> [mm] \pmat{ 0 & 2 & 0 \\ -1 & -2 & 0 \\ -3 & 0 & 0} [/mm] * [mm] \vektor{u_1 \\ u_2 \\ u_3} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\0}
[/mm]
wenn ich das dann auf die stufenform bringe erhalte ich (ist das überhaupt notwendig??)
[mm] \pmat{ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0} [/mm] wäre dann ja dann als lösung : [mm] x_1= \vektor{0 \\ 0 \\ 0} [/mm] oder??
danke!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 2 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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> hab mir mal über [mm]det(A-\lambda*E)[/mm] die eigenwerte
> ausgerechnet:
>
> [mm]\lambda_1=2[/mm]
> [mm]\lambda_2=1[/mm]
> [mm]\lambda_3=1[/mm]
Hallo,
die Eigenwerte sind nicht richtig, rechne nochmal und stell ggf. Dein Charakteristisches Polynom vor, wenn Du dasselbe Ergebnis erneut bekommst.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:51 Mo 03.12.2007 | | Autor: | Dagobert |
hallo!
habs nochmal gerechnet und komme wieder auf das gleiche:
[mm] -\lambda^3+4\lambda^2-5\lambda+2=0 [/mm]
und daraus die eigenwerte 2, 1 und 1 ??
danke!
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Hallo,
[mm] det\pmat{ 2-\lambda & 2 &0 \\ -1 & -\lambda & 0 \\ -3 & 0 & 2-\lambda}
[/mm]
schreibe dir die 1. und 2. Spalte dahinter, du bekommst
[mm] (2-\lambda)*(-\lambda)*(2-\lambda)-2*(-1)*(2-\lambda)
[/mm]
[mm] (2-\lambda)*(-\lambda)*(2-\lambda)+2*(2-\lambda)
[/mm]
[mm] -\lambda*(2-\lambda)^{2}+4-2\lambda
[/mm]
[mm] -\lambda(4-4\lambda+\lambda^{2})+4-2\lambda
[/mm]
[mm] -\lambda^{3}+4\lambda^{2}-6\lambda+4
[/mm]
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:33 Mo 03.12.2007 | | Autor: | Dagobert |
hallo!
ja dann bekomme ich raus:
[mm] \lambda_1=2
[/mm]
[mm] \lambda_2=1+i
[/mm]
[mm] \lambda_3=1-i
[/mm]
nur wie mache ich da weiter das ich die eigenvektoren bekomme? hab da jetzt die i drinnen?!
danke!
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> hallo!
>
> ja dann bekomme ich raus:
>
> [mm]\lambda_1=2[/mm]
> [mm]\lambda_2=1+i[/mm]
> [mm]\lambda_3=1-i[/mm]
>
> nur wie mache ich da weiter das ich die eigenvektoren
> bekomme? hab da jetzt die i drinnen?!
Hallo,
mach es genau wie immer! Also Kern v. Matrix - [mm] \lambda [/mm] E bestimmen.
Die i stören doch nicht, und da in der Aufgabenstellung sogar die Rede von "komplexen Eigenvektoren" ist, kannst Du Dich erst recht beruhigt ans Werk machen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:23 Mi 05.12.2007 | | Autor: | Dagobert |
hallo!
wenn ich jetzt einsetze für [mm] \lambda_2=1+i
[/mm]
in [mm] (A-\lambda_2*E)*\vec{x_2}=\vec{0}
[/mm]
[mm] -->\pmat{ 1-i & 2 & 0\\ -1 & -1-i & 0 \\ -3 & 0 & 1-i} [/mm] --> [mm] z_2:z_2*3-z_1 [/mm] --> [mm] \pmat{ 1-i & 2 & 0\\ 0 & -3-3i & -1+i \\ -3 & 0 & 1-i} [/mm]
nur da komme ich jetzt irgendwie nicht mehr weiter das ich auf ne stufenform komme ??
danke!
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> hallo!
>
> wenn ich jetzt einsetze für [mm]\lambda_2=1+i[/mm]
>
> in [mm](A-\lambda_2*E)*\vec{x_2}=\vec{0}[/mm]
>
> [mm]-->\pmat{ 1-i & 2 & 0\\ -1 & -1-i & 0 \\ -3 & 0 & 1-i}[/mm] -->
> [mm]z_2:z_2*3-z_1[/mm] --> [mm]\pmat{ 1-i & 2 & 0\\ 0 & -3-3i & -1+i \\ -3 & 0 & 1-i}[/mm]
>
> nur da komme ich jetzt irgendwie nicht mehr weiter das ich
> auf ne stufenform komme ??
Hallo,
die Komplexen Zahlen stören?
Wenn Du die erste Zeile mit 1+i multiplizierst, wird Dein erstes Element reell. (Diese Trick mit der 3. binomischen Formel kann man oft gebrauchen, wenn man mit komplexen Zahlen rechnen muß.)
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:13 Di 04.12.2007 | | Autor: | andreas |
hi
> wenn ich das dann auf die stufenform bringe erhalte ich
> (ist das überhaupt notwendig??)
im allgemeinen schon, hier hätte man die lösung aber auch so ablesen können. wenn du das nicht direkt siehst bringe es aber lieber auf diese form.
> [mm]\pmat{ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0}[/mm] wäre dann ja
> dann als lösung : [mm]x_1= \vektor{0 \\ 0 \\ 0}[/mm] oder??
bedenke, dass der nullvektor per definitionem nie eigenvektor ist. allerdings hat das system noch weitere lösungen (man kann die dritte koordinate beliebig wählen!).
grüße
andreas
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hallo!
danke! dann ist ja [mm] x_1=0 [/mm] und [mm] x_2=0 [/mm] auch. und [mm] x_3 [/mm] kann ich dann beliebig wählen oder?
also dann würde rauskommen: [mm] \vec{x_1}=\vektor{0 \\ 0 \\1} [/mm] ?
danke!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:39 Fr 07.12.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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