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| Aufgabe | | Beh.: eigenwerte einer unitären matrix sind nur 1,-1,i,-i |
wollte nur wissen ob obige beh. stimmt. ich hätte schon gedacht es stimmt weil es ja heißt dass der betrag der ew einer unit. matrix nur 1 sein kann. wenn nicht kann jemand ein gegenbsp sagen?
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Hallo sepp-sepp,
> Beh.: eigenwerte einer unitären matrix sind nur 1,-1,i,-i ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
> wollte nur wissen ob obige beh. stimmt. ich hätte schon
> gedacht es stimmt weil es ja heißt dass der betrag der ew
> einer unit. matrix nur 1 sein kann. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Komplexe Zahlen mit Betrag 1 liegen doch auf dem Rand des Einheitskreises!
Also ist auch ein EW [mm] $\lambda$ [/mm] einer (komplexen) unitären Matrix dort gelegen, er hat also die Form [mm] $\lambda=e^{i\varphi}$
[/mm]
> wenn nicht kann jemand
> ein gegenbsp sagen?
Puh, [mm] $\pmat{\frac{1}{\sqrt{7}}&\frac{2}{\sqrt{7}}i&\frac{1}{\sqrt{7}}(1-i)\\\frac{2}{\sqrt{5}}i&\frac{1}{\sqrt{5}}&0\\\sqrt{\frac{2}{35}}&\sqrt{\frac{8}{35}}&\sqrt{\frac{5}{14}}(-1+i)}$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:45 Mo 26.07.2010 | | Autor: | fred97 |
Ergänzend:
Sei t [mm] \in \IR [/mm] und die nxn-Matrix U def. durch
[mm] $U=e^{it}E$, [/mm] wobei E = nxn-Einheitsmatrix.
Dann ist U unitär und hat genau einen Eigenwert: [mm] \lambda= e^{it}.
[/mm]
Du siehst also: jeder Punkt auf der Einheitskreislinie ist Eigenwert einer geeigneten unitären Matrix
FRED
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