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ein besonderer Winkel ?: Übungsaufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:36 So 05.06.2011
Autor: Al-Chwarizmi

Aufgabe
Es wird ein Kreissektor mit dem spitzen Zentriwinkel [mm] \alpha [/mm] gezeichnet.
Ferner werden der Umkreis und der Inkreis dieses Sektors
konstruiert.  

Behauptung:

a) Für einen gewissen Winkel [mm] \alpha [/mm] mit [mm] \alpha\approx68.95^{\circ} [/mm] gilt:
Die drei außerhalb des Sektors, aber innerhalb des Umkreises
liegenden Segmente sind flächengleich.

b) Für einen gewissen Winkel [mm] \alpha [/mm] mit [mm] \alpha\approx68.95^{\circ} [/mm] gilt:
Die drei innerhalb des Sektors, aber außerhalb des Inkreises
liegenden "Spickel" sind flächengleich.




Es geht darum, diese Behauptung zu prüfen.

Die Figur dazu:
[Dateianhang nicht öffentlich]

Dateianhänge:
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
        
Bezug
ein besonderer Winkel ?: Dummy-Frage
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:14 Mo 06.06.2011
Autor: Al-Chwarizmi

diese "Frage" soll nur bewirken, dass die Aufgabe sichtbar
bleibt. Deshalb bitte hier keine Antwort anfügen ...

LG   Al

Bezug
        
Bezug
ein besonderer Winkel ?: Anfang einer Rechnung...
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:18 Mo 06.06.2011
Autor: reverend

Hallo Al,

das ist ja eine interessante Aufgabe.
Leider fällt mir im Moment nicht mehr dazu ein, als ein bisschen herumzurechnen, wozu mir aber eigentlich die Zeit fehlt.
Deswegen hier mal ein Anfang, vielleicht mag ja jemand anders weitermachen. ;-)

Es genügt, für den gegebenen Kreissektor r=1 anzunehmen.

Dann ist die Fläche des gesamten Sektors [mm] F_S=\bruch{\alpha}{2\pi}*\pi=\bruch{\alpha}{2} [/mm]

Umkreisradius: [mm] \quad\quad r_U=\bruch{1}{2\cos{\bruch{\alpha}{2}}} [/mm]

Fläche des Umkreises: [mm] F_U=\bruch{\pi}{4\cos^2{\left(\bruch{\alpha}{2}\right)}} [/mm]

Inkreisradius: [mm] \quad\quad r_I=\tan{\bruch{\alpha}{2}}*\bruch{\sin{\bruch{\pi-\alpha}{4}}}{\sin{\bruch{\pi+\alpha}{4}}} [/mm]

[mm] F_I=\pi r_I^2=\cdots [/mm]

Nun ist eigentlich "nur noch" zu zeigen,

* dass die Fläche von [mm] S_2\quad [/mm]
[mm] F(S_2)=\bruch{1}{3}(F_U-F_S) [/mm] ist (1. Aufgabenteil) bzw.

* dass die Fläche von [mm] T_1\quad F(T_1)=\bruch{1}{3}(F_S-F_I) [/mm] ist (2. Aufgabenteil).

Der umgekehrte Weg, nach dem Winkel auflösen, scheint dagegen nicht recht zu funktionieren, wenn ich nicht doch eine Vereinfachung über Additionstheoreme übersehen habe.

Es dürfte daher insbesondere auch schwierig bis unmöglich sein, die Identität des betreffenden Zentrumswinkels auf diesem Weg nachzuweisen. Es wäre jedenfalls erstaunlich, wenn sie tatsächlich bestünde. Ich pflege numerischen vermeintlichen Gleichheiten zu misstrauen, auch wenn die Genauigkeit hier ja immerhin frappierend ist.

Trotzdem ein toller Fund!

Grüße
reverend



Bezug
                
Bezug
ein besonderer Winkel ?: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:42 Di 07.06.2011
Autor: weduwe

mehr als eine numerische lösung habe ich nicht zu bieten,
allerdings erhalte ich verschiedene werte, ist das möglich?

[mm] \alpha_T\approx [/mm] 68.90 und [mm] \alpha_S\approx [/mm] 69.00

Bezug
                        
Bezug
ein besonderer Winkel ?: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:31 Do 09.06.2011
Autor: Al-Chwarizmi


> mehr als eine numerische lösung habe ich nicht zu bieten,
>  allerdings erhalte ich verschiedene werte, ist das
> möglich?
>  
> [mm]\alpha_T\approx[/mm] 68.90 und [mm]\alpha_S\approx[/mm] 69.00

Ja, das ist richtig. Die beiden Winkel (für [mm] T_1=T_2=T_3 [/mm] bzw. für [mm] S_1=S_2=S_3) [/mm]
sind nicht identisch, aber doch sehr nahe beieinander.
Insofern sind die beiden Behauptungen a) und b) (jeweils mit dem [mm] \approx) [/mm]
richtig, aber es handelt sich um verschiedene Winkel. Diese unterscheiden
sich aber um weniger als 6 Bogenminuten.

Ich habe auch ziemlich gestaunt, als ich auf diese Ergeb-
nisse kam. Es hätte mich aber bestimmt komplett aus
den Socken katapultiert, wenn die Winkel überein-
gestimmt hätten ...   ;-)

LG    Al



Bezug
                                
Bezug
ein besonderer Winkel ?: Frozzelei
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:16 Fr 10.06.2011
Autor: statler

Hi!

Nichts für ungut, aber wenn die beiden Winkel gleich wären, hätte Coxeter doch 2 bis 3 Beweise dafür geliefert und Ramanujan ihre Kettenbruchentwicklung hingeschrieben ;-) Meinst du nicht?

Frohe Pfingsten
Dieter

Bezug
                                        
Bezug
ein besonderer Winkel ?: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:42 Fr 10.06.2011
Autor: Al-Chwarizmi


> Hi!
>  
> Nichts für ungut, aber wenn die beiden Winkel gleich
> wären, hätte Coxeter doch 2 bis 3 Beweise dafür
> geliefert und Ramanujan ihre Kettenbruchentwicklung
> hingeschrieben ;-) Meinst du nicht?

Ja eben !

> Frohe Pfingsten
>  Dieter

Dir auch !    Al     :-)




Bezug
                                        
Bezug
ein besonderer Winkel ?: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:35 Sa 11.06.2011
Autor: weduwe


> Hi!
>  
> Nichts für ungut, aber wenn die beiden Winkel gleich
> wären, hätte Coxeter doch 2 bis 3 Beweise dafür
> geliefert und Ramanujan ihre Kettenbruchentwicklung
> hingeschrieben ;-) Meinst du nicht?
>  
> Frohe Pfingsten
>  Dieter


naja, kann ja nicht jeder so schlau sein.
und als einfältiger, einfacher mensch habe ich halt nachgefragt.

naja, das wird wohl daran liegen, dass ich deinen humor (?) nicht vertsehe und du vermutlich meinen nicht.
trotzdem auch dir viel spaß über pfingsten

bleibt halt übrig, sich zu wundern, dass beide winkel so nahe beisemmen liegen :-)

Bezug
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