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| Aufgabe | a) [mm] \integral{\wurzel{1-x^{2}} dx}
[/mm]
b) [mm] \integral{sin\wurzel{x} dx}
[/mm]
c) [mm] \integral{ln^{2}x dx}
[/mm]
d) [mm] \integral{\bruch{1}{1+\wurzel{x}} dx} [/mm] |
wollte hier nur mal ein paar aufgaben reinstellen um nachzuprüfen ob ich das (hauptsächlich die substitution) verstanden habe
a) [mm] \integral{\wurzel{1-x^{2}} dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{-2x}\integral{z^{0,5} dz} [/mm] = [mm] \bruch{1}{-3x}z^{1,5} [/mm] + C = [mm] \bruch{1}{-3x}(1-x^{2})^{1,5} [/mm] + C
b) [mm] \integral{sin\wurzel{x} dx} [/mm] = [mm] 2\wurzel{x} \integral{sinz dz} [/mm] = [mm] -2\wurzel{x}cos\wurzel{x} [/mm] + C
c) [mm] \integral{ln^{2}x dx} [/mm] = [mm] x\integral{z^{2} dz} [/mm] = [mm] \bruch{xz^{3}}{3} [/mm] + C = [mm] \bruch{xln^{3}x}{3} [/mm] + C
d) [mm] \integral{\bruch{1}{1+\wurzel{x}} dx} [/mm] = [mm] 2\wurzel{x} \integral{z^{-1} dz} [/mm] = [mm] 2\wurzel{x}ln\vmat{1 + \wurzel{x}} [/mm] + C
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:39 Di 24.04.2007 | | Autor: | Mary15 |
> a) [mm]\integral{\wurzel{1-x^{2}} dx}[/mm]
> b)
> [mm]\integral{sin\wurzel{x} dx}[/mm]
> c) [mm]\integral{ln^{2}x dx}[/mm]
> d)
> [mm]\integral{\bruch{1}{1+\wurzel{x}} dx}[/mm]
> wollte hier nur mal
> ein paar aufgaben reinstellen um nachzuprüfen ob ich das
> (hauptsächlich die substitution) verstanden habe
>
> a) [mm]\integral{\wurzel{1-x^{2}} dx}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{-2x}\integral{z^{0,5} dz}[/mm] = [mm]\bruch{1}{-3x}z^{1,5}[/mm]
> + C = [mm]\bruch{1}{-3x}(1-x^{2})^{1,5}[/mm] + C
>
> b) [mm]\integral{sin\wurzel{x} dx}[/mm] = [mm]2\wurzel{x} \integral{sinz dz}[/mm]
> = [mm]-2\wurzel{x}cos\wurzel{x}[/mm] + C
>
> c) [mm]\integral{ln^{2}x dx}[/mm] = [mm]x\integral{z^{2} dz}[/mm] =
> [mm]\bruch{xz^{3}}{3}[/mm] + C = [mm]\bruch{xln^{3}x}{3}[/mm] + C
>
> d) [mm]\integral{\bruch{1}{1+\wurzel{x}} dx}[/mm] = [mm]2\wurzel{x} \integral{z^{-1} dz}[/mm]
> = [mm]2\wurzel{x}ln\vmat{1 + \wurzel{x}}[/mm] + C
>
>
>
>
Hi,
es tut mir leid, aber alle deine Lösungen sind falsch.
Bei ersten probiere mal die Substitution x=sinz.
Die Aufgabe 3 kannst du mit Hilfe der partielle Integration lösen.
Bei dem letzten sieht fast richtig aus. Es muss 2( [mm] \wurzel{x}-ln|1+\wurzel{x}|) [/mm] raus kommen.
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okay, danke für die antwort.
ich hab also ein grundlegendes verständnisproblem. kannst du erkennen wo es bei mir hakt?
ich versuche mich derweil mal an den anderen aufgaben.
so hab mich derweil noch einmal mit der c) beschäftigt:
[mm] \integral{ln^{2}x dx} [/mm] = (xlnx - x)lnx - [mm] \integral{lnx-1 dx} [/mm] = (xlnx - x)lnx - xnlx + 2x + C = [mm] x(ln^{2}x [/mm] - 2lnx + 2)
bin ich jetzt auf dem richtigen weg?
bei a) hab ich aber trotzdem das problem dass ich nicht weiß wie ich mit der wurzel umgehen soll: = [mm] ...\integral{\wurzel{1-sin^{2}z}} [/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:11 Di 24.04.2007 | | Autor: | Mary15 |
> okay, danke für die antwort.
> ich hab also ein grundlegendes verständnisproblem. kannst
> du erkennen wo es bei mir hakt?
bei der Substitutions-Methode liegt der Fehler daran, dass die beiden Variablen "alte" x und "neue" z gleichzeitig vorhanden sind. Wenn du eine Substitution wählst, dann muss überall die Variable x durch den neuen Term mit z ersetzt werden. Auch dx muss durch z bestimmt werden. Du darfst nicht einfach statt dx dz schreiben.
Z.b. [mm] \wurzel{x} [/mm] = z [mm] \Rightarrow [/mm] x = [mm] z^2 \Rightarrow [/mm] dx = 2zdz
Dabei spielt auch eine Rolle welche Substitution du wählst. Z.B. bei a) [mm] 1-x^2 [/mm] = z bringt nichts.
> ich versuche mich derweil mal an den anderen aufgaben.
>
>
> so hab mich derweil noch einmal mit der c) beschäftigt:
> [mm]\integral{ln^{2}x dx}[/mm] = (xlnx - x)lnx - [mm]\integral{lnx-1 dx}[/mm]
> = (xlnx - x)lnx - xnlx + 2x + C = [mm]x(ln^{2}x[/mm] - 2lnx + 2)
> bin ich jetzt auf dem richtigen weg?
>
Die Lösung ist richtig! Allerdings verstehe ich deinen Lösungsweg nicht ganz. Was hast du als u und v' gewählt?
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na ich hab u' = lnx; u = xlnx - x und v=lnx mit v'= [mm] x^{-1}
[/mm]
(geht das anders??, u' und v sind doch gleich somit ist es doch pupsegal was ich nehme)
bei der substitution hab ich das tatsächlich grundsätzlich falsch verstanden.
dann mache ich mal
b)
[mm] \integral{sin\wurzel{x} dx} [/mm] = [mm] \integral{2zsinz dz} [/mm] = -2zcosz + [mm] 2\integral{cosz dz} [/mm] = [mm] 2sin\wurzel{x} [/mm] - [mm] 2\wurzel{x}cos\wurzel{x} [/mm]
und jetzt hab ich mich auch mit d) beschäftigt:
ich hab aber nach dem integrieren = 2z - 2lnIzI mit [mm] z=1+\wurzel{x} [/mm] raus, demnach hätte ich bei meinem ergebnis = [mm] 2(1+\wurzel{x} [/mm] - [mm] lnI1+\wurzel{x}I) [/mm] und komme leider nicht ganz auf dein ergebnis
und jetzt bin ich auch an a) dran:
x = sinz [mm] \Rightarrow [/mm] z=arcsinx und dx=-coszdz
[mm] -\integral{\wurzel{1-sin²z}cosz dz} [/mm] = [mm] -\integral{cos²z dz} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{2}(z [/mm] + sinzcosz) (so stehts zumindest in meinen Tafelwerk, hab ich nicht nochmal nachgerechnet) = [mm] -\bruch{1}{2}(arcsinx [/mm] + xcosarcsinx)
machen wir's kurz, da häng ich schon wieder. davon mal abgesehen dass es nicht sonderlich "richtig" aussieht könnte ich das jetzt nicht mehr vereinfachen.
tut mir echt leid dass ich dich damit so quäle aber ich brauch mal wieder deine hilfe.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:28 Di 24.04.2007 | | Autor: | Mary15 |
> na ich hab u' = lnx; u = xlnx - x und v=lnx mit v'= [mm]x^{-1}[/mm]
> (geht das anders??, u' und v sind doch gleich somit ist es
> doch pupsegal was ich nehme)
Ok. Das geht auch. Ich habe u = [mm] ln^{2}x [/mm] und v' = 1 gewählt und habe das gleiche Ergebnis gekriegt.
>
> bei der substitution hab ich das tatsächlich grundsätzlich
> falsch verstanden.
>
> dann mache ich mal
> b)
> [mm]\integral{sin\wurzel{x} dx}[/mm] = [mm]\integral{2zsinz dz}[/mm] =
> -2zcosz + [mm]2\integral{cosz dz}[/mm] = [mm]2sin\wurzel{x}[/mm] -
> [mm]2\wurzel{x}cos\wurzel{x}[/mm]
>
richtig!
> hast du die bearbeitung im vorherigen post mitgekriegt
> (wegen a) und der wurzel)?
>
Sorry, habe übersehen. Also bei a) soltest du dich weiter viel mit trigonometrischen Formel auseinandersetzen. [mm] \wurzel{1-sin^{2}x} [/mm] = [mm] \wurzel{cos^{2}x} [/mm] = cosx
> und jetzt hab ich mich auch mit d) beschäftigt:
> ich hab aber nach dem integrieren = 2z - 2lnIzI mit
> [mm]z=1+\wurzel{x}[/mm] raus, demnach hätte ich bei meinem ergebnis
> = [mm]2(1+\wurzel{x}[/mm] - [mm]lnI1+\wurzel{x}I)[/mm] und komme leider nicht
> ganz auf dein ergebnis
>
Sorry mein Fehler. Ich habe 1 verloren. Deine Lösung ist richtig.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:43 Di 24.04.2007 | | Autor: | Mary15 |
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> und jetzt bin ich auch an a) dran:
> x = sinz [mm]\Rightarrow[/mm] z=arcsinx und dx=-coszdz
>
> [mm]-\integral{\wurzel{1-sin²z}cosz dz}[/mm] = [mm]-\integral{cos²z dz}[/mm]
> = [mm]-\bruch{1}{2}(z[/mm] + sinzcosz) (so stehts zumindest in
> meinen Tafelwerk, hab ich nicht nochmal nachgerechnet) =
> [mm]-\bruch{1}{2}(arcsinx[/mm] + xcosarcsinx)
>
> machen wir's kurz, da häng ich schon wieder. davon mal
> abgesehen dass es nicht sonderlich "richtig" aussieht
> könnte ich das jetzt nicht mehr vereinfachen.
[mm] \integral{cos²z dz} [/mm] ist richtig! Nun kannst du den Formel für cos2z verwenden:
cos2z = [mm] cos^{2}x-sin^{2}x \Rightarrow cos^{2}x [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}(1+cos2z)
[/mm]
also [mm] \integral{cos²z dz} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}\integral{(1+cos2z) dz} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}(z +\bruch{1}{2}sin2z) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}(arcsinx +\bruch{1}{2}sin2z) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}(arcsinx +\bruch{1}{2}*2sinzcosz) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}(arcsinx +\bruch{1}{2}*2x\wurzel{1-x^2})
[/mm]
> tut mir echt leid dass ich dich damit so quäle aber ich
> brauch mal wieder deine hilfe.
>
kein Problem! :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:01 Di 24.04.2007 | | Autor: | celeste16 |
vielen dank für deine hilfe.
dann bleibt mit wohl nichts als dir eine schöne nacht zu wünschen.
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