eindeutig, Erzeugendensystem < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:54 Sa 17.11.2012 | | Autor: | Lu- |
| Aufgabe | | Es seien G ein H Gruppen, M [mm] \subseteq [/mm] G sei ein Erzeugendensystem von G mit [mm] \phi [/mm] : G->H ein Homomorphismus. Beweisen Sie, dass [mm] \phi [/mm] durch die Werte [mm] \phi(x) [/mm] mit x [mm] \in [/mm] M eindeutig bestimmt ist. |
hallo
Die Aufgabe an sich ist ja logisch, aber ich habe leider keine Ahnung wie ich den beweis dafür aufbaue....
Ich hab bei der AUfgabe richtig ein Holz vorm Kopf .
Vlt könnt ihr mir da einen Tipp geben, wie ich einsteige in die Aufgabe.
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:58 Sa 17.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Lu,
> Die Aufgabe an sich ist ja logisch, aber ich habe leider
> keine Ahnung wie ich den beweis dafür aufbaue....
> Ich hab bei der AUfgabe richtig ein Holz vorm Kopf .
> Vlt könnt ihr mir da einen Tipp geben, wie ich einsteige
> in die Aufgabe.
Wie habt ihr "Erzeugendensystem" einer Gruppe definiert?
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:21 Sa 17.11.2012 | | Autor: | Lu- |
Sei G eine Gruppe und [mm] M\subseteq [/mm] G. Dann heißt <M> = [mm] \bigcap_{M \subseteq H , H \le G}H [/mm] die von M erzeugte Untergruppe von G. Gilt <M> =G so sagt man, G werde von M erzeugt und nennt M ein Erzeugendensytem von G.
Ist M endlich d.h. [mm] \exists a_1 [/mm] ,.., [mm] x_n \in [/mm] G : M [mm] =\{a_1,..,a_n\} [/mm] so schreibt man auch [mm] [/mm] statt <M>
Satz: Sei G eine Gruppe und M [mm] \subseteq [/mm] G , M [mm] \not= \{ \} [/mm] . Dann gilt
<M> = [mm] \{ a_1^{\epsilon_1} *...*a_n^{\epsilon_n} | , n \ge 0, a_1,.., a_n \in M. \epsilon_1,.., \epsilon_n \in \{1, -1\}\} [/mm]
Mein Versuch:
elisabet nicht
Es sei x [mm] \in [/mm] G beliebig. Da M Erzeugendensystem von G ist (<M>=G), gibt es eine Darstellung
v = [mm] a_1^{\epsilon_1} *..*a_n^{\epsilon_n}
[/mm]
mit [mm] a_1,.., a_n \in [/mm] M. [mm] \epsilon_1,.., \epsilon_n \in \{1, -1\} [/mm]
Da [mm] \phi [/mm] ein Homomorphismus ist, muss für die Abbildung gelten
[mm] \varphi( [/mm] v) = [mm] \varphi [/mm] ( [mm] a_1^{\epsilon_1} *..*a_n^{\epsilon_n} [/mm] ) = [mm] \varphi(a_1^{\epsilon_1}) [/mm] +..+ [mm] \varphi(a_n^{\epsilon_n})
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:31 Sa 17.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
Das sieht gut aus! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Du bist fast fertig.
> Mein Versuch:
> Es sei x [mm]\in[/mm] G beliebig. Da M Erzeugendensystem von G
> ist (<M>=G), gibt es eine Darstellung
>
> v x = [mm]a_1^{\epsilon_1} *..*a_n^{\epsilon_n}[/mm]
> mit [mm]a_1,.., a_n \in[/mm]
> M. [mm]\epsilon_1,.., \epsilon_n \in \{1, -1\}[/mm]
>
> Da [mm]\phi[/mm] ein Homomorphismus ist, muss für die Abbildung
> gelten
>
> [mm]\varphi([/mm] v) = [mm]\varphi[/mm] ( [mm]a_1^{\epsilon_1} *..*a_n^{\epsilon_n}[/mm]
> ) = [mm]\varphi(a_1^{\epsilon_1})[/mm] +..+
> [mm]\varphi(a_n^{\epsilon_n})[/mm]
[mm] $=\varphi(a_1)^{\epsilon_1}*\ldots*\varphi(a_n)^{\epsilon_n}$.
[/mm]
Dabei sind [mm] $\epsilon_1,\ldots,\epsilon_n$ [/mm] nur von x und nicht von [mm] $\varphi$ [/mm] abhängig.
Somit ist [mm] $\varphi(x)$ [/mm] durch [mm] $\varphi(a_1),\ldots,\varphi(a_n)$ [/mm] eindeutig bestimmt.
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