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Forum "Uni-Komplexe Analysis" - einfach zusammenhängend Gebiet
einfach zusammenhängend Gebiet < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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einfach zusammenhängend Gebiet: tipp,Rückfrage,Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:14 Sa 02.07.2022
Autor: nkln

Aufgabe
Es sei $A= [mm] \left\{ t \in \mathbb{R} | |t|\ge 1 \right\} \cup \left\{ s \in i\mathbb{R} | |s|\ge 1\right\}$. [/mm] Zeigen Sie, dass [mm] $G:=\mathbb{C}\setminus [/mm] A$einfach zusammenhängend ist.

Eine Skizze zur Orientierung könnte helfen

Zu nächst meine Skizze [Dateianhang nicht öffentlich]

Laut Definition im Skript ist ein Gebiet $G:= [mm] \mathbb{C}\setminus [/mm] A [mm] \subset \mathbb{C}$ [/mm] einfach zusammenhängend, wenn jeder Zyklus nullhomolog ist $G$ ist.

Beweis:

Sei $G [mm] \subset \mathbb{C}$ [/mm] offen und [mm] $\Gamma$ [/mm] Zyklus in $G$. Ein Zyklus heißt Nullhomolog in $G [mm] \Leftrightarrow n_\Gamma(z)=0 [/mm] $ für alle $z [mm] \in [/mm] A$.

Sei nun [mm] $\Gamma$ [/mm] ein beliebiger Zyklus in $G$und sei $z [mm] \in [/mm] A.$

Wie mache ich jetzt weiter?

Danke für jegliche Hilfe und eure Zeit!


Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
        
Bezug
einfach zusammenhängend Gebiet: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:49 Sa 02.07.2022
Autor: fred97


> Es sei [mm]A= \left\{ t \in \mathbb{R} | |t|\ge 1 \right\} \cup \left\{ s \in i\mathbb{R} | |s|\ge 1\right\}[/mm].
> Zeigen Sie, dass [mm]G:=\mathbb{C}\setminus A[/mm]einfach
> zusammenhängend ist.
>  
> Eine Skizze zur Orientierung könnte helfen
>  Zu nächst meine Skizze [Dateianhang nicht öffentlich]
>  
> Laut Definition im Skript ist ein Gebiet [mm]G:= \mathbb{C}\setminus A \subset \mathbb{C}[/mm]
> einfach zusammenhängend, wenn jeder Zyklus nullhomolog ist
> [mm]G[/mm] ist.
>  
> Beweis:
>  
> Sei [mm]G \subset \mathbb{C}[/mm] offen und [mm]\Gamma[/mm] Zyklus in [mm]G[/mm]. Ein
> Zyklus heißt Nullhomolog in [mm]G \Leftrightarrow n_\Gamma(z)=0[/mm]
> für alle [mm]z \in A[/mm].
>  
> Sei nun [mm]\Gamma[/mm] ein beliebiger Zyklus in [mm]G[/mm]und sei [mm]z \in A.[/mm]
>  
> Wie mache ich jetzt weiter?
>  
> Danke für jegliche Hilfe und eure Zeit!
>  

So wie Du die Menge A skizziert hast,  ist es völlig falsch.  A ist die Vereinigung einer Teilmenge der rellen Achse mit einer Teilmenge der imaginären Achse, also Teilmenge des Achsenkreuzes.


Bezug
                
Bezug
einfach zusammenhängend Gebiet: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:05 So 03.07.2022
Autor: nkln

Hi Fred,

danke für deine Hilfe .Wir haben die Aufgabe gestern in der Lerngruppe besprochen und ich habe es gecheckt. Sorry, dass die Zeichnung falsch war und danke für deinen Hinweis!

Bezug
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