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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:14 Sa 02.07.2022 | | Autor: | nkln |
| Aufgabe | Es sei $A= [mm] \left\{ t \in \mathbb{R} | |t|\ge 1 \right\} \cup \left\{ s \in i\mathbb{R} | |s|\ge 1\right\}$. [/mm] Zeigen Sie, dass [mm] $G:=\mathbb{C}\setminus [/mm] A$einfach zusammenhängend ist.
Eine Skizze zur Orientierung könnte helfen |
Zu nächst meine Skizze [Dateianhang nicht öffentlich]
Laut Definition im Skript ist ein Gebiet $G:= [mm] \mathbb{C}\setminus [/mm] A [mm] \subset \mathbb{C}$ [/mm] einfach zusammenhängend, wenn jeder Zyklus nullhomolog ist $G$ ist.
Beweis:
Sei $G [mm] \subset \mathbb{C}$ [/mm] offen und [mm] $\Gamma$ [/mm] Zyklus in $G$. Ein Zyklus heißt Nullhomolog in $G [mm] \Leftrightarrow n_\Gamma(z)=0 [/mm] $ für alle $z [mm] \in [/mm] A$.
Sei nun [mm] $\Gamma$ [/mm] ein beliebiger Zyklus in $G$und sei $z [mm] \in [/mm] A.$
Wie mache ich jetzt weiter?
Danke für jegliche Hilfe und eure Zeit!
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:49 Sa 02.07.2022 | | Autor: | fred97 |
> Es sei [mm]A= \left\{ t \in \mathbb{R} | |t|\ge 1 \right\} \cup \left\{ s \in i\mathbb{R} | |s|\ge 1\right\}[/mm].
> Zeigen Sie, dass [mm]G:=\mathbb{C}\setminus A[/mm]einfach
> zusammenhängend ist.
>
> Eine Skizze zur Orientierung könnte helfen
> Zu nächst meine Skizze [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Laut Definition im Skript ist ein Gebiet [mm]G:= \mathbb{C}\setminus A \subset \mathbb{C}[/mm]
> einfach zusammenhängend, wenn jeder Zyklus nullhomolog ist
> [mm]G[/mm] ist.
>
> Beweis:
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> Sei [mm]G \subset \mathbb{C}[/mm] offen und [mm]\Gamma[/mm] Zyklus in [mm]G[/mm]. Ein
> Zyklus heißt Nullhomolog in [mm]G \Leftrightarrow n_\Gamma(z)=0[/mm]
> für alle [mm]z \in A[/mm].
>
> Sei nun [mm]\Gamma[/mm] ein beliebiger Zyklus in [mm]G[/mm]und sei [mm]z \in A.[/mm]
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> Wie mache ich jetzt weiter?
>
> Danke für jegliche Hilfe und eure Zeit!
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So wie Du die Menge A skizziert hast, ist es völlig falsch. A ist die Vereinigung einer Teilmenge der rellen Achse mit einer Teilmenge der imaginären Achse, also Teilmenge des Achsenkreuzes.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:05 So 03.07.2022 | | Autor: | nkln |
Hi Fred,
danke für deine Hilfe .Wir haben die Aufgabe gestern in der Lerngruppe besprochen und ich habe es gecheckt. Sorry, dass die Zeichnung falsch war und danke für deinen Hinweis!
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