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einfache DGL-Lösung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:30 Do 16.04.2009
Autor: sabot

Aufgabe 1
DGL-Lösung

Aufgabe 2
Differentialgleichung lösen

Also es ist ganz einfach und ich bitte das zu entschuldigen, aber alle Versuche eine Lösung für dieses einfache Problem zu finden, führen nur zu unbrauchbaren Ergebnissen.
Also es geht um ein physikalisches Problem: Eine Masse m ist mit einer Feder (Steifigkeit c) und einem geschwindigkeitsabhängigen Dämpfer d parallel verbunden. Der Fuss (also nicht die Masse) wird nun angeregt. Ich möchte die Bewegung (über Zeit) der Masse kennen.
Die Anregung könnt ihr Euch aussuchen. Es geht nur darum, die Verschiebung, Geschwindigkeit und Beschleunigung der Masse über der Zeit zu kennen. Die Steifigkeit der Feder, die Dämpfung und die Masse sind bekannt. Ich möchte auch nicht die Lösung im eingeschwungenen Zustand wissen, sondern zu jedem Zeitpunkt. Dafür ist die Anregung beliebig wählbar. All meine Suchen im Netz haben nur Müll gebracht. (Partikuläre Lösungen im eingeschwungenen Zustand)
Die Dgl sollte sein:

mx..+dx.+cx=f(t)

die Eigenkreisfrequenz ist w=wurzel(c/m)
Das Dämpfungsmaß<<1 ca. 0.224= d/(2mw) mit m=78kg und w=52,8 1/s
Ich brauche nur die Bewegung,Geschwindigkeit und Beschleunigung des Masse wenn ich den Fuss mit irgendetwas anrege. Zum Hintergrund. Ich löse sonst das System numerisch, aber ich möchte ein Testbeispiel rechnen, bei dem ich weiss was rauskommt.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
einfache DGL-Lösung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:44 Do 16.04.2009
Autor: MathePower

Hallo sabot,

[willkommenmr]

> DGL-Lösung
>  Differentialgleichung lösen
>  Also es ist ganz einfach und ich bitte das zu
> entschuldigen, aber alle Versuche eine Lösung für dieses
> einfache Problem zu finden, führen nur zu unbrauchbaren
> Ergebnissen.
>  Also es geht um ein physikalisches Problem: Eine Masse m
> ist mit einer Feder (Steifigkeit c) und einem
> geschwindigkeitsabhängigen Dämpfer d parallel verbunden.
> Der Fuss (also nicht die Masse) wird nun angeregt. Ich
> möchte die Bewegung (über Zeit) der Masse kennen.
>  Die Anregung könnt ihr Euch aussuchen. Es geht nur darum,
> die Verschiebung, Geschwindigkeit und Beschleunigung der
> Masse über der Zeit zu kennen. Die Steifigkeit der Feder,
> die Dämpfung und die Masse sind bekannt. Ich möchte auch
> nicht die Lösung im eingeschwungenen Zustand wissen,
> sondern zu jedem Zeitpunkt. Dafür ist die Anregung beliebig
> wählbar. All meine Suchen im Netz haben nur Müll gebracht.
> (Partikuläre Lösungen im eingeschwungenen Zustand)
>  Die Dgl sollte sein:
>  
> mx..+dx.+cx=f(t)
>  
> die Eigenkreisfrequenz ist w=wurzel(c/m)
>  Das Dämpfungsmaß<<1 ca. 0.224= d/(2mw) mit m=78kg und
> w=52,8 1/s
>  Ich brauche nur die Bewegung,Geschwindigkeit und
> Beschleunigung des Masse wenn ich den Fuss mit irgendetwas
> anrege. Zum Hintergrund. Ich löse sonst das System
> numerisch, aber ich möchte ein Testbeispiel rechnen, bei
> dem ich weiss was rauskommt.


Nun die homogene Lösung der DGL

[mm]m*\ddot{x}+d*\dot{x}+c*x=f\left(t\right)[/mm]

bestimmst Du durch den Ansatz: [mm]x_{H}\left(t\right)=e^{\lambda t}[/mm]

,wobei hier [mm]f\left(t\right)=0[/mm]


Die Lösung der inhomogenen DGL ([mm] f\left(t\right) \not= 0[/mm])

wird besonders einfach, wenn

[mm]f\left(t\right)=A*\cos\left(w_{2}t\right)[/mm]

Dabei ist allerdings zu beachten, daß [mm]w \not= w_{2}[/mm]

In diesem Fall ist der Ansatz

[mm]x_{p}\left(t\right)=B*\cos\left(w_{2}t\right)+C*\sin\left(w_{2} t\right)[/mm]

zu wählen.

Im Fall [mm]w=w_{2}[/mm] ist der Ansatz

[mm]x_{p}\left(t\right)=\left(B_{1}*t+B_{0}\right)*\cos\left(w_{2}t\right)+\left(C_{1}*t+C_{0}\right)*\sin\left(w_{2} t\right)[/mm]

zu wählen.

Die Gesamtlösung ergibt sich dann zu:

[mm]x\left(t\right)=x_{H}\left(t\right)+x_{P}\left(t\right)[/mm]


>  Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


Gruß
MathePower

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einfache DGL-Lösung: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:06 Fr 17.04.2009
Autor: sabot

Zunächst mal vielen Dank für die Antworten, allerdings habe ich noch ein paar Fragen.

1. Für xH(t)=exp(lambda*t) benötige ich noch lambda. für mich ist [mm] lambda1/2=-w*D+-Wurzel((D*w)^2-w^2) [/mm]
wenn aber D<1 ist (soll ja mal 0,224 sein) wird die Wurzel negativ, also irgendetwas mit einem komplexen Anteil...

2. wenn ich jetzt mal f(t)=A*cos(w2*t) nehme für w2 ungleich 0 dann habe ich noch B und C zubestimmen. Sind das die Anfangsbedingenungen für das System? Physikalisch möchte ich eigentlich die Beschleunigung des Fusses vorgeben. Das sollte dann also f.(t)=-A*w2*sin(w2*t) und dann [mm] f..(t)=-A*w2^2*cos(w2*t) [/mm] sein. Was mich aber wundert ist, das bei f(t)=A*cos(w2*t) es ja eigentlich eine Verschiebung sein soll. Die Verschiebung ist aber bei t=0 nicht null sondern 1. Ist das klar geworden?. Also wenn ich die Beschleunigung des Fusspunktes vorgebe, dann ist die Verschiebung und die Geschwindigkeit null zum Zeitpunkt null. Kann ich A mit 1 freiwählen?

Was will ich mit den Werten machen? Also ich brauche am Ende drei Funktionen der Zeit für die MASSE.
1. DIe Verschiebung x(t), Die Geschwindigkeit x.(t) und die Beschleinigung x..(t), alle in Abhängigkeit von der Masse,der Dämpfung und der Steifigkeit des Systems und in Abhängigkeit von der Fusspunktbeschleunigung.
Numerisch ist das alles kein problem. Ich bekomme auch die Bewegung und die Geschwindigkeit des Fusspunktes raus. Aber ich will die Daten halt mit der analytischen Lösung überprüfen.

Gruss und nochmals Danke für die Hilfe

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einfache DGL-Lösung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:38 Fr 17.04.2009
Autor: Event_Horizon

Hallo!

Zunächst ein gut gemeinter Rat auch in deinem Interesse: Das Forum kann, wie du gemerkt hast, Formeln darstellen. wenn du einen Beitrag verfasst, schau doch mal unter das Eingabefenster. Dort sind viele Formelelemente aufgeführt, und wenn du drauf klickst, siehst du, was du eingeben mußt, um sie zu erzeugen. Das mag etwas umständlich bei der Eingabe sein, allerdings ist es momentan auch sehr umständlich, das zu lesen, was du da geschrieben hast.
Weiterer Trick: Halte die Maus einfach über irgendwelche Formeln hier im Forum, dann siehst du, was dafpr eingegeben wurde.
(Ist nicht böse gemeint)


Zur Frage:


1.) Es ist völlig richtig, daß bei der Berechnung von  [mm] \lambda [/mm] in [mm] e^{\lamda*t} [/mm] was negatives unter der Wurzel steht. Das [mm] \lambda [/mm] ist dann komplex:  

[mm] $\lambda=a+\wurzel{-b}=a+\wurzel{(-1)*b}=a+\wurzel{i^2b}=a+i*\wurzel{b},\quad a\in\IR, [/mm] \ b>0 [mm] \in \IR$ [/mm]

Folgendes solltest du dir nun merken:

[mm] e^{a+i*\wurzel{b}}=e^{a}*e^{i*\wurzel{b}}=e^{a}*\{\cos(\wurzel{b})+i*\sin(\wurzel{b})\} [/mm]

Wenn du das für deine DGL mal machst  (Zur Übung zunächst für die homogene Lösung ), siehst du, daß du einen Dämpfungsterm bekommst, und einen Schwingungsterm. Also so, wie man sich das vorstellt.


2.) Die Funktion [mm] f(t)=A\cos(w_2t) [/mm] geht davon aus, daß du zum Zeitpunkt t=0 maximale Auslenkung A hast. Die Beschleunigung hängt natürlich über [mm] a=Aw_2^2 [/mm] von Amplitude und Winkelgeschwindigkeit ab. Du kannst nur zwei der Parameter festlegen, der dritte ergibt sich dann automatisch.

Eventuell willst du aber eher sowas wie [mm] f(t)=A\sin(w_2t) [/mm] , da ist die Auslenkung anfangs =0, die Geschwindigkeit maximal, aber auch die Beschleunigung ist grade =0. Sowas wie maximale Beschleunigung, aber keine Auslenkung bekommst du mit ner SIN oder COS-Funktion nicht hin.





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einfache DGL-Lösung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:57 Fr 17.04.2009
Autor: sabot

Hallo!

Das mit den Formel stimmt natürlich und ich werde versuchen das mal so zu tippen. Mich erinnert diese Beschreibung von Formeln an ein Programm namens LATEX (nicht das Gummizeug) Das Programm war mal in vergangenen Tagen ein Programm zum Textsatz als Bildschirme noch 132 Ascii-Zeichen hatten und es Fernschreiber gab. Und Editoren hiessen "vi". Na ja, vorbei.

Zu meinen Fragen:
was kann ich mit diesem Term denn jetzt anfangen?
$ [mm] e^{a+i\cdot{}\wurzel{b}}=e^{a}\cdot{}e^{i\cdot{}\wurzel{b}}=e^{a}\cdot{}\{\cos(\wurzel{b})+i\cdot{}\sin(\wurzel{b})\} [/mm] $

da steckt ja jetzt wieder ein i drin. ich bin ja gerne bereit die Dämfung so hoch zu setzen, dass die Wurzel positiv wird, aber das Grundproblem bleibt. Wer kann die Verschiebung, die Geschwindigkeit und die Beschleunigung der Masse in Abhängigkeit von einer (einfachen, selbst vorgegebenen Fusspunkterregung) explizit aufschreiben.
um mal ein paar krass konkrete Zahlen zu nennen:
wenn meine Fusspunktanregung (die Beschleunigung) wie folgt aussieht
(Achtung Formel:)

[mm] a=-x0*w^2*cos(w*t) [/mm]
bekomme ich für m=78, d=1848.54, c=218276, w=1000,x0=1
ich hab omega absichtlich so groß gewählt, damit c/m<< als [mm] w^2 [/mm] ist. Damit ist die Eigenfequenz des ungedämpften Schwingers wesentlich kleiner als die Erregerfrequenz und die verschiebung der Masse ist gering. Ich nehme natürlich auch andere Parameter in der Rechnung. Ich will nur das Rechenverfahren prüfen

f=fusspunkt

bei t=0, [mm] a_f=-1e6, v_f=0, s_f=0 [/mm]  ; physikalisch... das system ist in der Ruhelage
dann "sieht" die Masse (index m)
t=0, [mm] a_m=0, v_m=0, s_m=0 [/mm] ; ist auch klar, bewegung beginnt erst, die masse ist in ruhe

jetzt nehmen wir mal t=0.005
[mm] a_f=282751 [/mm] (eigentlich müssten das -283662.18 sein)
[mm] v_f=956.61 [/mm]
[mm] s_f=-0.715331 [/mm]

[mm] a_m=+21836.7 [/mm]
[mm] v_m=-28.831 [/mm]
[mm] s_m=-0.166077 [/mm]

die Einheiten spare ich mir, alles SI

Wenn mir jetzt einer die expliziten Lösungen der Gleichung aufschreiben könnte, wäre ich dankbar.
Also entweder ist das Problem sooo einfach, dass das hier jeder im schlaf runtersagen kann, aber keine lust dazu hat, oder ich hab das Problem noch nicht richtig beschrieben

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einfache DGL-Lösung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:14 Fr 17.04.2009
Autor: MathePower

Hallo sabot,

> Hallo!
>  
> Das mit den Formel stimmt natürlich und ich werde versuchen
> das mal so zu tippen. Mich erinnert diese Beschreibung von
> Formeln an ein Programm namens LATEX (nicht das Gummizeug)
> Das Programm war mal in vergangenen Tagen ein Programm zum
> Textsatz als Bildschirme noch 132 Ascii-Zeichen hatten und
> es Fernschreiber gab. Und Editoren hiessen "vi". Na ja,
> vorbei.
>  
> Zu meinen Fragen:
>  was kann ich mit diesem Term denn jetzt anfangen?
>  
> [mm]e^{a+i\cdot{}\wurzel{b}}=e^{a}\cdot{}e^{i\cdot{}\wurzel{b}}=e^{a}\cdot{}\{\cos(\wurzel{b})+i\cdot{}\sin(\wurzel{b})\}[/mm]


Nun, wenn das charaktristische Polynom einer homogenen DGL,
wie diese hier, komplexe Lösungen besitzt, dann sind

[mm]e^{at}*\cos\left(\wurzel{\vmat{b}}t\right), \ e^{at}\sin\left(\wurzel{\vmat{b}}t\right)[/mm]

Lösungen der homogenen DGL.


>  
> da steckt ja jetzt wieder ein i drin. ich bin ja gerne
> bereit die Dämfung so hoch zu setzen, dass die Wurzel
> positiv wird, aber das Grundproblem bleibt. Wer kann die
> Verschiebung, die Geschwindigkeit und die Beschleunigung
> der Masse in Abhängigkeit von einer (einfachen, selbst
> vorgegebenen Fusspunkterregung) explizit aufschreiben.
> um mal ein paar krass konkrete Zahlen zu nennen:
>  wenn meine Fusspunktanregung (die Beschleunigung) wie
> folgt aussieht
>  (Achtung Formel:)
>  
> [mm]a=-x0*w^2*cos(w*t)[/mm]
>  bekomme ich für m=78, d=1848.54, c=218276, w=1000,x0=1
>  ich hab omega absichtlich so groß gewählt, damit c/m<< als
> [mm]w^2[/mm] ist. Damit ist die Eigenfequenz des ungedämpften
> Schwingers wesentlich kleiner als die Erregerfrequenz und
> die verschiebung der Masse ist gering. Ich nehme natürlich
> auch andere Parameter in der Rechnung. Ich will nur das
> Rechenverfahren prüfen
>  
> f=fusspunkt
>  
> bei t=0, [mm]a_f=-1e6, v_f=0, s_f=0[/mm]  ; physikalisch... das
> system ist in der Ruhelage
>  dann "sieht" die Masse (index m)
>  t=0, [mm]a_m=0, v_m=0, s_m=0[/mm] ; ist auch klar, bewegung beginnt
> erst, die masse ist in ruhe
>  
> jetzt nehmen wir mal t=0.005
>  [mm]a_f=282751[/mm] (eigentlich müssten das -283662.18 sein)
> [mm]v_f=956.61[/mm]
>  [mm]s_f=-0.715331[/mm]
>  
> [mm]a_m=+21836.7[/mm]
>  [mm]v_m=-28.831[/mm]
>  [mm]s_m=-0.166077[/mm]
>  
> die Einheiten spare ich mir, alles SI
>  
> Wenn mir jetzt einer die expliziten Lösungen der Gleichung
> aufschreiben könnte, wäre ich dankbar.


Die Lösung der DGL

[mm]m*\ddot{x}+d*\dot{x}+c*x=x_{0}*\cos\left(wt\right)[/mm]

mit den Anfangsbedingungen

[mm]x\left(0\right)=\dot{x}\left(0\right)=0[/mm]

ergibt sich zu


[mm]x\left(t\right)=\bruch{x_{0}}{\left(c-m*w^{2}\right)^{2}+\left(d*w\right)^{2}}\left\{\ \ \left(c-m*w^{2}\right)*\cos\left(wt\right)+d*w*\sin\left(w*t\right) \ \right\}[/mm]

[mm]-\bruch{x_{0}*e^{-\bruch{d}{2m}t}}{\left(c-m*w^{2}\right)^{2}+\left(d*w\right)^{2}}\left\{\ \ \left(c-m*w^{2}\right)*\cos\left(\wurzel{\left(\bruch{d}{2m}\right)^{2}-\bruch{c}{m}} \ t\right) \ \right\}[/mm]

[mm]-\bruch{x_{0}*e^{-\bruch{d}{2m}t}}{\left(c-m*w^{2}\right)^{2}+\left(d*w\right)^{2}}*\bruch{1}{\wurzel{\left(\bruch{d}{2m}\right)^{2}-\bruch{c}{m}}}\left\{\ \ \left( \ \left(c-m*w^{2}\right)*\bruch{d}{2m}+d*w^{2} \ \right)*\sin\left(\wurzel{\left(\bruch{d}{2m}\right)^{2}-\bruch{c}{m}} \ t\right) \ \right\}[/mm]

Die Angabe der Lösung erfolgt ohne Gewähr.


>  Also entweder ist das Problem sooo einfach, dass das hier
> jeder im schlaf runtersagen kann, aber keine lust dazu hat,
> oder ich hab das Problem noch nicht richtig beschrieben


Gruß
MathePower

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einfache DGL-Lösung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:19 Fr 17.04.2009
Autor: sabot

Puh! erstmal vielen Dank für die Gleichung x(t). Ich hätte nicht gedacht, dass das so lang ist. Aber ich werde die Gleichung mal in excel eingeben. Auf die erste und zweite Ableitung verzichte ich dann lieber.
Aber noch eine Frage zu den komplexen Lösungen der DGL. Wie interpretiert man diese komplexen Lösungen physikalisch?.  Bei dem von mir beschiebenen System handelt es sich eigentlich um einen Beschleunigungssensor mit einer "weichen" Feder!

Gibt es eine Möglichkeit das Problem mit einem Programm (mathematika?)numerisch zu lösen? Vielleicht kann man auch die sechs Kurven dann mit meinen Ergebnissen vergleichen.  Die Graphen wuerden reichen.

Aber erstmal vielen Dank!

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einfache DGL-Lösung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:15 Sa 18.04.2009
Autor: leduart

Hallo
Die komplexen Loesungn sind nur ne Vereinfachung der Rechnung.
der imaginaerteil hat so keine direkte physikalische bedeutung.
aber es ist viel bequemer mit dem Ansatz [mm] y=e^{\lambda*x} [/mm] die homogene Dgl zu loesen als mit dem Ansatz
[mm] y=A*e^{rt}*sin(wt+\phi) [/mm] was man auch koennte.
wenn man 2 verschiedene Loesungen einer  homogenen lin. dgl hat, dann sind auch alle ihre Linearkombinationen Loesung: du hast die 2 Loesungen [mm] e^{(a+ib)*t} [/mm] und [mm] e^{(a-ib)*t} [/mm]
ihre summe ist [mm] e^{at}*(e^{ibt}+e^{-ibt})=e^{at}*2cos(bt) [/mm]
und ihre Differenz *i ergibt: [mm] e^{at}*i*(e^{ibt}-e^{-ibt})=e^{at}*sin(bt) [/mm]
also 2 neue fkt, fuer die wieder gilt, dass jede ihrer linkomb. Loesung ist.
Dieses Problem, das in jedem Buch oder auch wiki unter "angeregter harmonischer Oszillator" steht sollte man nicht numerisch loesen.
Aber man kann es ganz leicht mit excel etwa direkt numerisch loesen. Allerdings solltest du vor dem allgemeinen Verfahren einen Halbschritt extra rechnen.
Wo du jetzt die Loesung hast, ist es doch sinnlos numerisch zu rechnen.
probier numerische Loesungen erstmal an dem gewoehnlichen Oszillator ohne daempfung und Anregung aus. das sollte ne normale sin oder cos Kurve geben und du siehst Fehler viel schneller.
Gruss leduart

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einfache DGL-Lösung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:42 So 19.04.2009
Autor: sabot

Ok!
Erst mal vielen Dank für die Hilfe!
Ich werde erstmal die Dämpfung ausschalten und dann sehen was rauskommt

gruss

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