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| Aufgabe | Lösen Sie die folgende DGL:
a) [mm] x^{3}+y-2xy'=0 [/mm] |
ich hatte das thema eigentlich als relativ unproblematisch in erinnerung, werde jetzt aber aus meinen aufzeichnungen nicht mehr schlau.
welche schritte muss ich bei gleichung machen um zum ziel zu kommen?
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Hiho,
Erstmal umformen 
[mm]x^{3}+y-2xy'=0[/mm]
[mm]x^3 + y = 2xy'[/mm]
[mm]\bruch{x^2}{2} + \bruch{1}{2x}y = y'[/mm]
Nun hast du eine DGL der Form:
[mm]y' = a(x)y + b(x)\text{ mit } a(x) = \bruch{1}{2x} \text{ und } b(x) = \bruch{x^2}{2}[/mm]
Dies ist eine lineare inhomogene DGL, wo du bestimmt in deinen Aufzeichnungen was zu findest.
MfG,
Gono.
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so?
[mm] y_{H}=ce^{-A(x)}
[/mm]
[mm] a(x)=\bruch{1}{2x}, A(x)=\bruch{1}{2}lnx
[/mm]
[mm] y_{H}=ce^{-\bruch{1}{2}lnx}=\bruch{c}{\wurzel{x}}
[/mm]
[mm] y_{S}=c(x)e^{A(x)} [/mm] mit [mm] c(x)=\integral{b(x)e^{-A(x)}dx}
[/mm]
[mm] c(x)=\bruch{1}{2}\integral{x^{2}\bruch{1}{\wurzel{x}}dx}=
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2}\integral{x^{1,5}dx}=\bruch{1}{5}x^{2,5}
[/mm]
[mm] y_{S}=\bruch{1}{5}x^{2,5}^\wurzel{x}=\bruch{1}{5}x^{3}
[/mm]
[mm] y=\bruch{c}{\wurzel{x}}+\bruch{1}{5}x^{3}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:38 Fr 06.07.2007 | | Autor: | setine |
Hi Celeste16,
Ich bin mir nicht ganz sicher wie du es rechnest, aber bei der homogenen Lösung hat sich ein Fehler eingeschlichen, denn [mm] $y_h [/mm] = c [mm] \cdot \sqrt(x)$
[/mm]
Ah ja, und [mm] $y_s$ [/mm] stimmt ;)
Gruss, Setine
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aber bei mir steht [mm] y_{H}=ce^{\red{-A}} [/mm] und das wäre
-0,5lnx und das ist [mm] \bruch{1}{\wurzel{x}}
[/mm]
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Hiho,
wie kommst du drauf, dass die Lösung y= [mm] ce^{-A(x)} [/mm] ist?
[mm]y' = (ce^{-A(x)})' = ce^{-A(x)}*(-a(x)) = -a(x)ce^{-A(x)} = -a(x)y \text{ } \not= \text{ } a(x)y [/mm]
Die Lösung ist demzufolge [mm] ce^{A(x)} [/mm] und damit kommste auch drauf.
MfG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:41 Fr 06.07.2007 | | Autor: | celeste16 |
die formel für [mm] y_{H} [/mm] stand so in einer formelsammlung, wenns doch + ist berichtige ichs. freut mich aber dass zumindest der rest stimmt - danke!
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