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| Aufgabe | Berechnen Sie das Integral von:
[mm] \integral_{\bruch{\pi}{4}}^{\bruch{\pi}{2}}{\bruch{1+sin^2(x)}{sin^2(x)} dx} [/mm] |
Hallo,
ich habe zuerst Substituiert:
[mm] z=sin^2(x) [/mm] und das Integral in 2 Integrale aufgeteilt
[mm] \integral_{\bruch{\pi}{4}}^{\bruch{\pi}{2}}{\bruch{1}{z} dz}+\integral_{\bruch{\pi}{4}}^{\bruch{\pi}{2}}{\bruch{z}{z} dz}
[/mm]
das integriert ist dann:
ln(z) + z jeweils mit den grenzen von [mm] \pi/4 [/mm] bis [mm] \pi/2 [/mm]
zurück substituiert:
[mm] ln(sin^2(x)) [/mm] + [mm] sin^2(x) [/mm] wieder jeweils mit den grenzen von [mm] \pi/4 [/mm] bis [mm] \pi/2
[/mm]
wenn ich das in den Taschenrechner eintippe, komme ich auf einen Zahlenwert von 2,649...
Das Ergebnis laut Lösung ist aber [mm] \pi/4+1 [/mm] also ca. 1,78...
Kann mir jemand sagen wo mein Fehler ist?
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:17 Mo 01.11.2010 | | Autor: | kushkush |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo,
Ich denke du hast das ableiten vergessen beim Substituieren.
$z= sin^{2}$
$dz = 2sincos dx$
$\frac{1}{2sincos}dz = dx$
Aufteilen kannst du das auch ohne Substitution. Aber $\integral{\frac{1}{sin^{2}(x)}$ ist wohl das echte Problem.
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Hallo student87,
> Berechnen Sie das Integral von:
>
> [mm]\integral_{\bruch{\pi}{4}}^{\bruch{\pi}{2}}{\bruch{1+sin^2(x)}{sin^2(x)} dx}[/mm]
>
> Hallo,
> ich habe zuerst Substituiert:
> [mm]z=sin^2(x)[/mm] und das Integral in 2 Integrale aufgeteilt
>
> [mm]\integral_{\bruch{\pi}{4}}^{\bruch{\pi}{2}}{\bruch{1}{z} dz}+\integral_{\bruch{\pi}{4}}^{\bruch{\pi}{2}}{\bruch{z}{z} dz}[/mm]
>
> das integriert ist dann:
>
> ln(z) + z jeweils mit den grenzen von [mm]\pi/4[/mm] bis [mm]\pi/2[/mm]
>
> zurück substituiert:
>
> [mm]ln(sin^2(x))[/mm] + [mm]sin^2(x)[/mm] wieder jeweils mit den grenzen von
> [mm]\pi/4[/mm] bis [mm]\pi/2[/mm]
>
>
> wenn ich das in den Taschenrechner eintippe, komme ich auf
> einen Zahlenwert von 2,649...
> Das Ergebnis laut Lösung ist aber [mm]\pi/4+1[/mm] also ca.
> 1,78...
>
> Kann mir jemand sagen wo mein Fehler ist?
Siehe dazu diesen Artikel.
Hier wird erwähnt, daß
[mm]\bruch{1}{\sin^{2}\left(x\right)}[/mm]
das größere Problem ist.
Nun. schreibe dazu:
[mm]\bruch{1}{\sin^{2}\left(x\right)}=\bruch{\cos^{2}\left(x\right)+\sin^{2}\left(x\right)}{\sin^{2}\left(x\right)}=1+\cot^{2}\left(x\right)[/mm]
Und die Stammfunktion von [mm]1+\cot^{2}\left(x\right)[/mm] ist bekannt.
>
> Gruß
>
Gruss
MathePower
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Ich versteh´s immer noch nicht.
Wenn ich das was in der Mitteilung steht umsetze, dann komme ich auf
$ [mm] \integral_{\bruch{\pi}{4}}^{\bruch{\pi}{2}}{\bruch{1}{z} \bruch{dz}{2sin(x)*cos(x)}}+\integral_{\bruch{\pi}{4}}^{\bruch{\pi}{2}}{\bruch{z}{z} \bruch{dz}{2sin(x)*cos(x)}} [/mm] $
aber was soll ich denn damit anfangen???
Gruß
markus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:06 Mo 01.11.2010 | | Autor: | kushkush |
Hallo,
man braucht nicht zu substituieren. Benütze die trigonometrische Beziehung von MathePower.
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> Ich versteh´s immer noch nicht.
> Wenn ich das was in der Mitteilung steht umsetze, dann
> komme ich auf
>
> [mm]\integral_{\bruch{\pi}{4}}^{\bruch{\pi}{2}}{\bruch{1}{z} \bruch{dz}{2sin(x)*cos(x)}}+\integral_{\bruch{\pi}{4}}^{\bruch{\pi}{2}}{\bruch{z}{z} \bruch{dz}{2sin(x)*cos(x)}}[/mm]
>
> aber was soll ich denn damit anfangen???
Hallo,
lösen wolltest Du
[mm]\integral_{\bruch{\pi}{4}}^{\bruch{\pi}{2}}\bruch{1+sin^2x}{sin^2x}dx[/mm].
Das Integral kannst Du doch erstmal völlig ohne Substitution aufteilen:
[mm]\integral_{\bruch{\pi}{4}}^{\bruch{\pi}{2}}\bruch{1+sin^2x}{sin^2x}dx=\integral_{\bruch{\pi}{4}}^{\bruch{\pi}{2}}\bruch{1}{sin^2x}dx+\integral_{\bruch{\pi}{4}}^{\bruch{\pi}{2}}1dx[/mm]
Wenn(!) Du nun im ersten Integfral z=sin^2x substituieren möchtest,
so mußt Du das dx ja sinnigerweise durch einen Ausdruch in Abhängigkeit von z ersetzen.
Also
z=sin^2x
x=...
[mm] \bruch{dx}{dz}= [/mm] ...
dx= ... dz.
Damit bekommst Du ein Integral, in welchem es nur noch die Variable z gibt. Das Anpassen der Grenzen darfst Du auch nicht vergessen, wenn Du mit bestimmten Integralen rechnest.
Beachte MathePowers Hinweise!
Gruß v. Angela
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