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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:50 Mo 05.11.2012 | | Autor: | adefg |
| Aufgabe | Gegeben sei die DGL y' = f(x,y). Sei [mm] f:[0,T]\times\mathbb R^n \rightarrow \mathbb R^n [/mm] stetig diff'bar und f erfülle eine einseitige Lipschitzbedingung für ein [mm] l\in\mathbb [/mm] R. Sei für die Schrittweite h>0 die Bedingung hl<1 erfüllt.
Dann konvergiert das implizite Euler-Verfahren und hat Konvergenzordnung 1. |
Hallo,
ich soll obige Behauptung beweisen und stecke auf halber Strecke fest. Wir haben selbiges in der Vorlesung für Lipschitz-stetige f gezeigt und im Grunde ist mir klar, wie der Beweis jetzt laufen muss, ich hänge nur an der Stelle, an der wir in der VL die Lipschitz-Stetigkeit benutzt haben.
Man kommt an einer Stelle auf [mm] e_{k+1} \leq e_k [/mm] + [mm] h\cdot ||f(x_{k+1},y(x_{k+1})) [/mm] - [mm] f(x_{k+1},u_{k+1})|| [/mm] + [mm] h\tau_h, [/mm] wobei [mm] e_k [/mm] = [mm] ||y(x_{k})-u_k||.
[/mm]
Wenn f lipschitz ist, kann man hier ja sofort abschätzen [mm] ||f(x_{k+1},y(x_{k+1})) [/mm] - [mm] f(x_{k+1},u_{k+1})||
Allerdings habe ich jetzt Probleme hier die einseitige Lipschitz-Stetigkeit [mm] \langle f(t,y)-f(t,z)\rangle \leq [/mm] l [mm] ||y-z||^2 [/mm] ähnlich anzuwenden.
Ich habe schon versucht in alle möglichen Richtungen Abschätzungen für ||f(t,y)-f(t,z)|| daraus abzuleiten, aber komme da nicht so richtig weiter. Hat da wer eine Idee für mich?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Do 08.11.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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