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Forum "Uni-Sonstiges" - elementare Zahlentheorie - ggT
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elementare Zahlentheorie - ggT: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:41 Mi 29.10.2003
Autor: puq

Hallo,

kann mir jemand erklären, warum für zwei natürliche Zahlen a,b gilt
ggT(a,b) = ggT(a+b,kgV(a,b)) ?

Aufgabe
Zeige: Für zwei natürliche Zahlen $a,b$ gilt: [mm] $\ggT(a,b) [/mm] = [mm] \ggT(a+b,\kgV(a,b))$. [/mm]


Vielen Dank


        
Bezug
elementare Zahlentheorie - ggT: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:32 Mi 29.10.2003
Autor: Marc

Hallo puq,

gerade unter der Dusche ist mir eingefallen, dass es noch sehr viel einfacher geht:

Es gilt:

(1) a = ggT(a,b)*c
(2) b = ggT(a,b)*d
(3) kgV(a,b) = a*b / ggT(a,b)

und außerdem

(4) ggT(z*x,z*y) = z*ggT(x,y)

Damit haben wir doch:

ggT(a+b,kgV(a,b))
= ggT( ggT(a,b)(c+d), ab / ggT(a,b) )
= ggT( ggT(a,b)(c+d), ggT(a,b)*c * ggT(a,b)*d / ggT(a,b) )
= ggT( ggT(a,b)(c+d), c * ggT(a,b)*d )
mit (4):
= ggT(a,b) * ggT(c+d,c*d)
Nun müßte man noch zeigen, dass ggT(c+d,c*d)=1 ist, was aber mit meiner vorherigen Behauptung -- dass nämlich c und d teilerfremd sind -- folgt.

Gruß,
Marc.


Bezug
                
Bezug
elementare Zahlentheorie - ggT: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:25 Mi 29.10.2003
Autor: puq

Hallo Marc,


vielen Dank für die Lösungen.

Bei der ersten ist glaube ich ein kleiner Fehler, denn c+d kann schon noch Primfaktoren von a oder b enthalten (z.B. 6+10=2*(3+5)=2*8), jedoch nicht die, die kgV(a,b)/ggT(a,b) enthält. Letztere sind ja gerade die, die beim Teilen von a+b durch den ggT(a,b) aus einem der beiden Summanden a,b vollständig verschwinden, im anderen aber noch enthalten sind, also dann die Summe c+d nicht teilen.

Naja, jedenfalls ist die zweite Lösung viel weniger umständlich.


Also nochmal vielen Dank,

puq


Bezug
                        
Bezug
elementare Zahlentheorie - ggT: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:56 Do 30.10.2003
Autor: Marc

Hallo puq,

danke für deine Rückmeldung!

Mit deiner Korrektur hast du natürlich recht, ich habe die entsprechende Stelle in meinem ursprünglichen Beitrag verbessert, obwohl ich ihn wegen der zweiten Lösung vielleicht besser ganz löschen sollte.

Bis bald mal wieder im MatheRaum :-)
Marc


Bezug
                                
Bezug
elementare Zahlentheorie - ggT: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:27 Do 30.10.2003
Autor: Stefan

Hallo Marc,

nimm die erste Lösung am besten ganz raus. Die Beziehung

[mm]ggT(c+d,kgV(a,b))=1[/mm],

die dort (immer noch) steht, ist ja falsch (siehe das Beispiel von puq: a=6, b=10): Dann ist c=3, d=5, c+d=8, kgV(6,10)=30, ggT(8,30)=2 ungleich 1.

Alles Gute
Stefan



Nachricht bearbeitet (Di 04.11.03 12:22)

Bezug
                                        
Bezug
elementare Zahlentheorie - ggT: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:33 Do 30.10.2003
Autor: Marc

Hallo Stefan,

> nimm die erste Lösung am besten ganz raus. Die Beziehung
>
> [mm]ggT(c+d,kgV(a,b))=1[/mm],
>
> die dort (immer noch) steht, ist ja falsch (siehe das Beispiel
> von puq: a=6, b=10): Dann ist c=3, d=5, c+d=8, kgV(6,10)=30,
> ggT(8,30)=2 ungleich 1.

Habe ich jetzt gemacht (versteckt). Vielleicht habe ich ja später noch mal Lust, sie zu verbessern, es eilt ja aber nicht.

> Anschließend kannst du dann auch meine beiden Kommentare zu
> dieser Aufgabe löschen (oder ich mache es selbst).

Ist nicht nötig, denke ich, so erinnern wir uns wenigstens daran, dass es zwei Lösungen gab, und können sie ggfs. hervorkramen und korrigieren.

Gruß,
Marc


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