elliptische Kurven < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:11 Sa 09.06.2007 | | Autor: | DaSaver |
| Aufgabe | Gegeben sei die Kurve:
[mm]E_{p,k}:\quad y^2+xy=x^3-2x^2+x+3[/mm]
über [mm]\IF_{p^k}[/mm] mit [mm]p[/mm] prim und [mm]k\in\IN[/mm].
Für welche Werte von p und k ist die Kurve [mm]E_{p,k}[/mm] singulär? |
Hallo@all!
Um die singulären Punkte zu bestimmen muss man ja das Gleichungssystem
[mm]
\begin{Bmatrix}
F(x_0,y_0)=0 \\
\bruch{\partial F}{\partial x}(x_0,y_0)=0 \\
\bruch{\partial F}{\partial y}(x_0,y_0)=0
\end{Bmatrix}
[/mm]
lösen. Und irgendwie komme ich an dieser Stelle nicht weiter...:-( Kann mir da jemand helfen?
Gruß,
Michael
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:48 Sa 09.06.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Michael!
> Gegeben sei die Kurve:
> [mm]E_{p,k}:\quad y^2+xy=x^3-2x^2+x+3[/mm]
> über [mm]\IF_{p^k}[/mm] mit [mm]p[/mm]
> prim und [mm]k\in\IN[/mm].
>
> Für welche Werte von p und k ist die Kurve [mm]E_{p,k}[/mm]
> singulär?
Ist singulaer ueber [mm] $\IF_{p^k}$ [/mm] gemeint, oder singulaer ueber [mm] $\overline{\IF_{p^k}}$ [/mm] gemeint (was nicht von $k$ abhaengt)?
Im zweiteren Fall (den man normalerweise meint) kannst du die Diskriminante der Kurve berechnen (falls ihr das schon hattet) und schauen, wann diese 0 modulo $p$ ist. Das sind dann genau die $p$, fuer die die Kurve singulaer ist.
> Um die singulären Punkte zu bestimmen muss man ja das
> Gleichungssystem
> [mm]
\begin{Bmatrix}
F(x_0,y_0)=0 \\
\bruch{\partial F}{\partial x}(x_0,y_0)=0 \\
\bruch{\partial F}{\partial y}(x_0,y_0)=0
\end{Bmatrix}
[/mm]
>
> lösen.
Zumindest fuer die affinen singulaeren Punkte. Der Punkt im Unendlichen ist jedoch immer glatt, insofern ist das richtig.
> Und irgendwie komme ich an dieser Stelle nicht
> weiter...:-( Kann mir da jemand helfen?
Die partielle Ableitung nach $y$ liefert dir eine lineare Beziehung zwischen [mm] $x_0$ [/mm] und [mm] $y_0$. [/mm] Diese kannst du in die anderen beiden Gleichungen einsetzen.
Bei der partiellen Ableitung nach $x$ hast du dann eine quadratische Gleichung in [mm] $x_0$. [/mm] Du kannst die Loesungen fuer [mm] $x_0$ [/mm] also explizit hinschreiben. Diese setzt du mit den zugehoerigen [mm] $y_0$ [/mm] in $f$ ein.
Und denk jeweils dran, dass du modulo $p$ rechnest.
Wenn du mit dem Ergebnis nichts anfangen kannst, schreib es bitte erst hier rein und frag dann.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:01 Sa 09.06.2007 | | Autor: | DaSaver |
Hallo Felix!
Danke erstmal für die schnelle Antwort!
Diskriminante einer Kurve hatten wir nur im Bezug auf die Kurvengleichungen der Form [mm]y^2=x^3+ax+b[/mm] angesprochen. Für allgemeine Gleichungen habe ich zwar im Internet eine Formel für die Diskriminantenberechnung gefunden, aber ich kann diese nicht nachvollziehen, da keine Erklärung dabei steht...
Ich habe es einfach mit dem Gleichungssystem versucht und bin bis zu diesem Punkt gekommen:
[mm]
\begin{Bmatrix}
y_0^2+x_0y_0-x_0^3++2x_0^2-x_0-3=0 \\
y_0-3x_0^2+4x_0-1=0 \\
2y_0+x_0=0
\end{Bmatrix}
\Rightarrow x_0=-2y_0 \Rightarrow -12y_0^2-7y_0-1=0
[/mm]
Jetzt muss ich diese quadratische Gleichung mod p lösen und ich habe keine Ahnung wie das geht. :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:11 Sa 09.06.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Michael!
> Danke erstmal für die schnelle Antwort!
>
> Diskriminante einer Kurve hatten wir nur im Bezug auf die
> Kurvengleichungen der Form [mm]y^2=x^3+ax+b[/mm] angesprochen. Für
> allgemeine Gleichungen habe ich zwar im Internet eine
> Formel für die Diskriminantenberechnung gefunden, aber ich
> kann diese nicht nachvollziehen, da keine Erklärung dabei
> steht...
Die Herleitung davon ist auch nicht ganz so trivial... :) Ausserdem hilft sie dir auch nur, wenn du das ganze ueber [mm] $\overline{\IF_{p^k}}$ [/mm] betrachtest, was hier wohl nicht ganz der Fall zu sein scheint... (da das $k$ eine Rolle spielen soll)
> Ich habe es einfach mit dem Gleichungssystem versucht und
> bin bis zu diesem Punkt gekommen:
> [mm]
\begin{Bmatrix}
y_0^2+x_0y_0-x_0^3++2x_0^2-x_0-3=0 \\
y_0-3x_0^2+4x_0-1=0 \\
2y_0+x_0=0
\end{Bmatrix}
\Rightarrow x_0=-2y_0 \Rightarrow -12y_0^2-7y_0-1=0
[/mm]
>
> Jetzt muss ich diese quadratische Gleichung mod p lösen und
> ich habe keine Ahnung wie das geht. :(
Also einmal musst du eine Fallunterscheidung machen.
Ist $p = 2$ oder $p = 3$, so ist das in Wirklichkeit eine lineare Gleichung, da dann $12 = 0$ ist. Da $7$ modulo $2$ und $3$ invertierbar ist, kannst du in diesen beiden Faellen die Loesung direkt hinschreiben und durch einsetzen in [mm] $f(x_0, y_0) [/mm] = 0$ testen, ob die Kurve eine Singularitaet hat oder nicht. (Da die Loesung [mm] $(x_0, y_0)$ [/mm] hier in [mm] $\IF_p$ [/mm] liegt, ist das Ergebnis hier also fuer alle $k$ das selbe.)
Ist $p > 3$, so ist $12 [mm] \neq [/mm] 0$, womit du mit der ganz normalen Loesungsformel fuer quadratische Gleichungen die Loesung hinschreiben kannst (da $p [mm] \neq [/mm] 2$ ist).
Beachte, dass die Loesung im Fall, dass der Ausdruck unter der Wurzel ein Quadrat in [mm] $\IF_p$ [/mm] ist, ebenfalls in [mm] $\IF_p$ [/mm] liegt, und andernfalls nicht, dann jedoch in [mm] $\IF_{p^2}$.
[/mm]
LG Felix
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