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elliptischer Kegel: Mantelflächeninhalt
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 09:00 Mi 08.07.2015
Autor: egon111

Aufgabe
Flaechenintegral [mm] :\integral\integral_{E}{\wurzel{x^{2}+y^{2}} do} [/mm] mit  E: [mm] \bruch{x^2}{a^2}+\bruch{y^2}{b^2}=\bruch{z^2}{c^2} [/mm] 0<=z<=c

Ansatz: Mantelfläche wird als ein Flächenstück betrachtet über einem Parametergebiet. Parametrisierung:[ [mm] x:=\bruch{a}{c}*r*cos(k); y:=\bruch{b}{c}*r*sin(k); [/mm] z:=r]=I(r,k) , wobei 0<=r<=c und 0<=k<=2*PI [mm] ist.I_{r}=[ x:=\bruch{a}{c}*cos(k); y:=\bruch{b}{c}*sin(k); [/mm] z:=1] und [mm] I_{k}=[ x:=-\bruch{a}{c}*r*sin(k); y:=\bruch{b}{c}*r*cos(k); [/mm] z:=0]. Das Kreuzprodukt von beiden ist [mm] r*[\bruch{-b*cos(k)}{c};\bruch{a*sin(k)}{c};\bruch{a*b}{c^2}]. [/mm]

Also ist [mm] do=r*\wurzel{\bruch{b^{2}*cos(k)^{2}}{c^{2}}+\bruch{a^{2}*sin(k)^{2}}{c^{2}}+\bruch{a^{2}*b^{2}}{c^{4}}}drdk. [/mm]

Also ergibt dies [mm] \integral\integral_{E}{r^{2}*\wurzel{(\bruch{a*cos(k)}{c})^{2}+(\bruch{b*sin(k)}{c})^{2}}*\wurzel{\bruch{b^{2}*cos(k)^{2}}{c^{2}}+\bruch{a^{2}*sin(k)^{2}}{c^{2}}+\bruch{a^{2}*b^{2}}{c^{4}}}drdk } [/mm]

Das ist aber kaum zu integrieren. Der Ansatz ist also nicht hilfreich.... Wie könnte man das alternativ elegant parametrisieren?

Willkommen in der elliptischen Hölle
Egon


        
Bezug
elliptischer Kegel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:22 Fr 10.07.2015
Autor: Ladon

Hallo,

versuch es doch mal mit zylindrischen Koordinaten
[mm] $$\Phi(r,\varphi,\eta)=(r\cos(\varphi),r\sin(\varphi),\eta).$$ [/mm]
Ich bin auf den Definitionsbereich [mm] $A\times]0,2\pi[\times]0,c[$ [/mm] gekommen, wobei
[mm] $$A:=\left\{\frac{\eta ab}{c\sqrt{a^2\sin^2(\varphi)+b^2\cos^2(\varphi)}}|\eta\in]0,c[,\varphi\in]0,2\pi[\right\}$$ [/mm]
ist. Es ist [mm] $|det(D\Phi)|=r$. [/mm] Wende nun die Transformationsformel an und erhalte mit [mm] $\sqrt{r^2(\sin(\varphi)+\cos(\varphi))}=r$ [/mm]
[mm] $$\int_{A\times]0,2\pi[\times]0,c[}r^2d\lambda(r,\varphi,\eta).$$ [/mm]
Anschließend kannst du es mit Tonelli/Fubini ausrechnen.
Ist etwas schnell heruntergeschrieben. Es ist also durchaus möglich, dass es nicht klappt. Mit kritischem Auge lesen. ;-)
Ich stelle die Antwort also so lange mal auf "reagiert". Vielleicht probierst du es mal aus.

VG
Ladon

PS: Ich bin davon ausgegangen, dass du das Lebesgue-Integral meinst.

Bezug
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