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| Aufgabe | Es sei V ein endlich-dimensionaler euklidischer Raum.
(i) Zeigen Sie für x,y [mm] \in [/mm] V den Satz des Pythagoras:
x [mm] \perp [/mm] y [mm] \gdw \parallel [/mm] x+y [mm] \parallel^2 [/mm] = [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel^2 [/mm] + [mm] \parallel [/mm] y [mm] \parallel^2.
[/mm]
Es sei nun U ein Unterraum von V mit Orthonormalbasis [mm] {u_{1},...., u_{k} }. [/mm] Wir betrachten einen fest gewählten Vektor v [mm] \in [/mm] V und setzen
w = [mm] \summe_{i=1}^{k} [/mm] <v, [mm] u_{i}> [/mm] mit [mm] u_{i} \in [/mm] U
(ii) Zeigen Sie: v-w [mm] \in U^{ \perp}. [/mm] |
Hallo, ich war letzte Woche leider krank und kann deshalb mit der Aufgabe nicht wirklich viel anfangen. Kann mir jemand helfen wie ich die Aufgabe angehen kann bzw vielleicht eine kleine Starthilfe geben?
Liebe Grüße Tanja
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:01 So 21.05.2006 | | Autor: | andreas |
hi
das ist eine aufgabe, bei der du einfach die eigeschaften des skalarproduks ausnutzen sollst, also schlage diese am besten mal nach und lege sie vor dich hin.
bei (i) fängst du am besten einfach mal an, in dem du die definition der norm in einem euklidischen vektorraum einsetzt: [m] \| x + y \|^2 = \left< x + y, x + y \right> = ... [/m] jetzt musst du die bilinearität ausnutzen - einmal im ersten argument des skalarproduktes und einmal im zweiten. schau dann mal, ob du die normen, die auf der rechten seite deiner gleichung schon dastehen hast und was du über die anderen summanden aussagen kannst.
bei (ii) bietet es sich an [m] \left< v - w, u_i \right> [/m] auszurechnen. vielleicht wird das ja 0?
probiere mal, wie weit du damit kommst. du kannst ja dann mal deine rechnung posten.
grüße
andreas
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Hi also die (i) hab ich jetzt ohne Probleme hinbekommen- danke
aber bei der (ii) komm ich nicht weiter ich hab dann doch irgendwas dastehen in der form [mm] [/mm] wobei a ein skalar ist.
wie kann ich da zeigen dass das Null ergibt. von der Idee her ist mir klar warum ich zeigen muss dass das Skalarprodukt <v-w, [mm] u_{i}>= [/mm] 0 ist aber ich bekomm es nicht raus.
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:05 So 21.05.2006 | | Autor: | piet.t |
Hallo Tanja,
ich schätze mal, dass es bei der Drfinition von w heissen muss
[mm]w = \summe_{i=1}^{k} \mathbf{u_i}[/mm]
sonst gibt das ja gar keinen Vektor....
Zu Deiner Frage:
Wichtig ist, dass man nicht mit den Indizes durcheinanderkommt, d.h. wenn man mit i den Summationsindex bezeichnet sollte man beim Ansetzen des Skalarprodukts besser einen anderen Buchstaben wählen, also etwa [mm][/mm].
Setzt man jetzt die Definition von w ein hat man ja
[mm] u_i,u_k>[/mm]
Da kann man ja jetzt verschiedene Regeln des Skalarprodukts ausnutzen. Schleißlich muss man noch beachten, dass die [mm] u_i [/mm] ja eine Orthonormalbasis bilden, d.h. dass [mm] = \delta_{ik}[/mm], und schon hat man das gewünschte Ergebnis 
Gruß
piet
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