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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:18 Sa 13.08.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
> Diesmal folgende Aufgabe:
> Zeigen Sie, dass [mm]\IC[/mm] endlich erzeugt über [mm]\IR[/mm] ist, aber
> [mm]\IR[/mm] nicht endlich erzeugt über [mm]\IQ.[/mm]
>
> Wenn ich [mm]\IC[/mm] als [mm]\IR^2[/mm] auffasse, dann kann ich doch als
> Basis für [mm]\IC[/mm] angeben:
> [mm]v_1=(0,1)[/mm]
> [mm]v_2=(1,0)[/mm]
> oder muss man das anders machen?
Das geht schon so.  Oder so: Jede komplexe Zahl lässt sich ja schreiben als:
$z = a [mm] \cdot [/mm] 1 + b [mm] \cdot [/mm] i$ mit $a,b [mm] \in \IR$,
[/mm]
d.h. $(1,i)$ ist eine Basis der Länge $2$ des Vektorraums [mm] $\IC$ [/mm] über dem Körper [mm] $\IR$. [/mm] Aber genau das hast du ja gemacht, nur mit anderen Bezeichnungen.
> Aber wie zeige ich den zweiten Teil? Vielleicht durch
> Widerspruch?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Nehmen wir einmal an es gäbe ein endliches Erzeugendensystem [mm] $(x_1,\ldots,x_n)$ [/mm] von [mm] $\IR$, [/mm] aufgefasst als Vektorraum über dem Körper [mm] $\IQ$. [/mm] Dann ließe sich jede reelle Zahl $r [mm] \in \IR$ [/mm] schreiben als:
$r = [mm] \lambda_1 \cdot x_1 [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] \lambda_n x_n$
[/mm]
mit [mm] $\lambda_i \in \IQ$ $(i=1,2,\ldots,n)$.
[/mm]
Es wäre also:
[mm] $\left\{\sum\limits_{i=1}^n \lambda_i \cdot x_i\, : \, \lambda_i \in \IQ \right\}=\IR$.
[/mm]
Was kannst du über die Mächtigkeit der Menge
[mm] $\left\{\sum\limits_{i=1}^n \lambda_i \cdot x_i\, : \, \lambda_i \in \IQ \right\}$
[/mm]
aussagen? Wie verhält es sich dagegen mit der Mächtigkeit von [mm] $\IR$? [/mm]
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:26 So 14.08.2005 | | Autor: | Bastiane |
Lieber Stefan!
Danke für deine Antwort.
> > Diesmal folgende Aufgabe:
> > Zeigen Sie, dass [mm]\IC[/mm] endlich erzeugt über [mm]\IR[/mm] ist, aber
> > [mm]\IR[/mm] nicht endlich erzeugt über [mm]\IQ.[/mm]
> > Aber wie zeige ich den zweiten Teil? Vielleicht durch
> > Widerspruch?
>
>
>
> Nehmen wir einmal an es gäbe ein endliches
> Erzeugendensystem [mm](x_1,\ldots,x_n)[/mm] von [mm]\IR[/mm], aufgefasst als
> Vektorraum über dem Körper [mm]\IQ[/mm]. Dann ließe sich jede reelle
> Zahl [mm]r \in \IR[/mm] schreiben als:
>
> [mm]r = \lambda_1 \cdot x_1 + \ldots + \lambda_n x_n[/mm]
>
> mit [mm]\lambda_i \in \IQ[/mm] [mm](i=1,2,\ldots,n)[/mm].
>
> Es wäre also:
>
> [mm]\left\{\sum\limits_{i=1}^n \lambda_i \cdot x_i\, : \, \lambda_i \in \IQ \right\}=\IR[/mm].
>
> Was kannst du über die Mächtigkeit der Menge
>
> [mm]\left\{\sum\limits_{i=1}^n \lambda_i \cdot x_i\, : \, \lambda_i \in \IQ \right\}[/mm]
>
> aussagen? Wie verhält es sich dagegen mit der Mächtigkeit
> von [mm]\IR[/mm]?
Ich weiß nicht so ganz, ob das jetzt die richtige Bezeichnung ist (redet man bei abzählbar und so auch von Mächtigkeit?): jedenfalls müsste [mm] \left\{\sum\limits_{i=1}^n \lambda_i \cdot x_i\, : \, \lambda_i \in \IQ \right\} [/mm] wohl abzählbar sein, [mm] \IR [/mm] hingegen ist überabzählbar, und somit können diese beiden Mengen nicht gleich sein. Richtig so?
Viele Grüße
Christiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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> Lieber Stefan!
> Danke für deine Antwort.
>
> > > Diesmal folgende Aufgabe:
> > > Zeigen Sie, dass [mm]\IC[/mm] endlich erzeugt über [mm]\IR[/mm] ist,
> aber
> > > [mm]\IR[/mm] nicht endlich erzeugt über [mm]\IQ.[/mm]
>
> > > Aber wie zeige ich den zweiten Teil? Vielleicht durch
> > > Widerspruch?
> >
> >
> >
> > Nehmen wir einmal an es gäbe ein endliches
> > Erzeugendensystem [mm](x_1,\ldots,x_n)[/mm] von [mm]\IR[/mm], aufgefasst als
> > Vektorraum über dem Körper [mm]\IQ[/mm]. Dann ließe sich jede reelle
> > Zahl [mm]r \in \IR[/mm] schreiben als:
> >
> > [mm]r = \lambda_1 \cdot x_1 + \ldots + \lambda_n x_n[/mm]
> >
> > mit [mm]\lambda_i \in \IQ[/mm] [mm](i=1,2,\ldots,n)[/mm].
> >
> > Es wäre also:
> >
> > [mm]\left\{\sum\limits_{i=1}^n \lambda_i \cdot x_i\, : \, \lambda_i \in \IQ \right\}=\IR[/mm].
>
> >
> > Was kannst du über die Mächtigkeit der Menge
> >
[mm]\left\{\sum\limits_{i=1}^n \lambda_i \cdot x_i\, : \, \lambda_i \in \IQ \right\}[/mm]=:M
>
> >
> > aussagen? Wie verhält es sich dagegen mit der Mächtigkeit
> > von [mm]\IR[/mm]?
>
> Ich weiß nicht so ganz, ob das jetzt die richtige
> Bezeichnung ist (redet man bei abzählbar und so auch von
> Mächtigkeit?): jedenfalls müsste [mm]\left\{\sum\limits_{i=1}^n \lambda_i \cdot x_i\, : \, \lambda_i \in \IQ \right\}[/mm]
> wohl abzählbar sein, [mm]\IR[/mm] hingegen ist überabzählbar, und
> somit können diese beiden Mengen nicht gleich sein. Richtig
> so?
>
> Viele Grüße
> Christiane
>
Das ist m.M.n.o.B.d.A. richtig :)
(Man sollte vllt. noch etwas genauer ausführen, warum M abzählbar ist.
Gruß,
Christian
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