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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:14 Fr 13.01.2006 | | Autor: | tom.bg |
| Aufgabe | Sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum mit Basen A, B und C. Man beweise, dass
[mm] T_{A}^{C} [/mm] = [mm] T_{B}^{C} [/mm] * [mm] T_{A}^{B} [/mm] |
bitte gute Tips
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Hallo,
vermutlich sind die T's die Matrizen, die die obere Basis bzgl. der unteren darstellen
(die Spalten sind die Darstellungen der Basisvektoren von C bzgl A).
Sei [mm] A=\{a_1,\ldots , a_n\}, B=\{b_1,\ldots , b_n\}, C=\{c_1,\ldots , c_n\}
[/mm]
Dann ist [mm] c_i [/mm] = [mm] \sum_{j=1}^n T^C_A[j,i] \cdot a_j
[/mm]
und [mm] c_i [/mm] = [mm] \sum_{j=1}^n T^C_B[j,i]\cdot b_j
[/mm]
und [mm] b_i [/mm] = [mm] \sum_{j=1}^n T^B_A[j,i]\cdot a_j
[/mm]
(per definitionem dieserf Matrizen.
Wenn wir in die zweite Gl. fuer die [mm] c_i's [/mm] (bzgl. der b's) fuer die b's die Formeln der dritten
Zeile einsetzen, koennen wir ueber Koeff.vergleich mit den ersten Zeilen fuer die c's (in Termen von den a's) direkt ablesen, dass die Formel gilt (Basisdarst. ist eindeutig !!!).
Gruss,
Mathias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:28 So 15.01.2006 | | Autor: | mushroom |
| Aufgabe | Sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum mit Basen [mm] $\mathcal [/mm] A, [mm] \mathcal [/mm] B$ und [mm] $\mathcal [/mm] C$. Man beweise, dass
[mm] $T^{\mathcal A}_{\mathcal C} [/mm] = [mm] T^{\mathcal B}_{\mathcal C} \cdot T^{\mathcal A}_{\mathcal B} [/mm] $ |
Hallo,
habe noch eine Frage zu dieser Aufgabe, jedoch mit genau "gedrehten" Basen.
Nun habe ich
[mm] $b_i [/mm] = [mm] \sum_{j=1}^n T^{\mathcal B}_{\mathcal C} \cdot c_j$
[/mm]
[mm] $a_i [/mm] = [mm] \sum_{j=1}^n T^{\mathcal A}_{\mathcal B} \cdot b_j$
[/mm]
[mm] $a_i [/mm] = [mm] \sum_{j=1}^n T^{\mathcal A}_{\mathcal C} \cdot c_j$
[/mm]
Damit ergibt sich
[mm] $\sum_{j=1}^n T^{\mathcal A}_{\mathcal C} \cdot c_j [/mm] = [mm] \sum_{j=1}^n \left( T^{\mathcal A}_{\mathcal B} \cdot \left( \sum_{j=1}^n T^{\mathcal B}_{\mathcal C} \cdot c_j \right) \right) \Rightarrow T^{\mathcal A}_{\mathcal C} [/mm] = [mm] T^{\mathcal A}_{\mathcal B} \cdot T^{\mathcal B}_{\mathcal C}$
[/mm]
Nun ist mein Problem, daß die letzte Zeile nicht mit dem übereinstimmt, was gezeigt werden soll, da es sich ja um Matrizen handelt und die Matrizenmultiplikation nicht kommutativ ist. Ich kann aber auch nicht den Fehler finden. Wäre schön, wenn mir jmd helfen könnte.
Gruß
Markus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:23 So 15.01.2006 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
> Sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum mit Basen
> [mm]\mathcal A, \mathcal B[/mm] und [mm]\mathcal C[/mm]. Man beweise, dass
>
> [mm]T^{\mathcal A}_{\mathcal C} = T^{\mathcal B}_{\mathcal C} \cdot T^{\mathcal A}_{\mathcal B}[/mm]
> Hallo,
> habe noch eine Frage zu dieser Aufgabe, jedoch mit genau
> "gedrehten" Basen.
>
> Nun habe ich
> [mm]b_i = \sum_{j=1}^n T^{\mathcal B}_{\mathcal C} \cdot c_j[/mm]
>
> [mm]a_i = \sum_{j=1}^n T^{\mathcal A}_{\mathcal B} \cdot b_j[/mm]
>
> [mm]a_i = \sum_{j=1}^n T^{\mathcal A}_{\mathcal C} \cdot c_j[/mm]
>
> Damit ergibt sich
> [mm]\sum_{j=1}^n T^{\mathcal A}_{\mathcal C} \cdot c_j = \sum_{j=1}^n \left( T^{\mathcal A}_{\mathcal B} \cdot \left( \sum_{j=1}^n T^{\mathcal B}_{\mathcal C} \cdot c_j \right) \right) \Rightarrow T^{\mathcal A}_{\mathcal C} = T^{\mathcal A}_{\mathcal B} \cdot T^{\mathcal B}_{\mathcal C}[/mm]
>
> Nun ist mein Problem, daß die letzte Zeile nicht mit dem
> übereinstimmt, was gezeigt werden soll, da es sich ja um
> Matrizen handelt und die Matrizenmultiplikation nicht
> kommutativ ist. Ich kann aber auch nicht den Fehler
> finden. Wäre schön, wenn mir jmd helfen könnte.
Kann es sein, dass ihr diese Matrizen einfach andersherum definiert habt? Es gibt da nämlich verschiedene Versionen... Käme das dann hin? (hab' die Aufgabe nur mal gerade so überflogen...)
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:33 So 15.01.2006 | | Autor: | mushroom |
Hallo Bastiane!
Also soweit ich weiß, haben wir beispielsweise [mm] $T_{\mathcal C}^{\mathcal A}$ [/mm] als Transformationsmatrix von [mm] $\mathcal [/mm] A$ nach [mm] $\mathcal [/mm] C$ definiert.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:51 Mo 16.01.2006 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Du musst hier, wie Mathias es auch meinte, sauber alles aufschreiben.
Richtig geht es in deinem Fall so:
[mm] $\sum\limits_{j=1}^n (T_C^A)_{ij} c_j$
[/mm]
$= [mm] a_i$
[/mm]
$= [mm] \sum\limits_{k=1}^n (T_B^A)_{ki} b_k$
[/mm]
$= [mm] \sum\limits_{k=1}^n [/mm] ( [mm] T_B^A)_{ki} \sum\limits_{j=1}^n (T_C^B)_{jk} c_j$
[/mm]
$= [mm] \sum\limits_{j=1}^n \left[ \sum\limits_{k=1}^n (T_C^B)_{jk} (T_B^A)_{ki} \right] c_j$
[/mm]
$= [mm] \sum\limits_{j=1}^n (T_C^B TB^A)_{ji} c_j$.
[/mm]
Liebe Grüße
Julius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:42 Mo 16.01.2006 | | Autor: | mushroom |
Hallo Julius!
Vielen Dank für deine Antwort. Nun habe ich meinen Fehler erkannt, er lag in der Umformung von der dritt- zur vorletzten Zeile, also das Zusammenfassen der Summen.
Gruß
Markus
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