endliche Dimension < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Zeigen Sie:
Wird V von endlichen vielen Vektoren aufgespannt, so ist V von endlicher Dimension. |
nabend,
Also aus dem Satz, dass V von endlich vielen Vektoren "aufgespannt" wird, entnehm ich doch, dass die Vektoren [mm] v_{1}, v_{2}, [/mm] ...... , [mm] v_{n} [/mm] linear unabhängig sein müssen oder? ich geh davon aus.
dann würd ich so argumentieren:
Definiere [mm] v_{1} [/mm] = (1,0,0,0......,0), [mm] v_{2}=(0,1,0,0.......,0),.... [/mm] , [mm] v_{n} [/mm] = (0,0,0,0...........,1).
so bilden die n Vektoren eine Basis der Länge n. Dementsprechend ist der Vektorraum von endlicher Dimension.
klingt mir irgendwie zu knapp find ich. reicht das so, fehlt da was? hätte gerne mehr text und so ^^ fällt mir aber nicht viel mehr ein.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:05 Di 29.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie:
>
> Wird V von endlichen vielen Vektoren aufgespannt, so ist V
> von endlicher Dimension.
> nabend,
>
> Also aus dem Satz, dass V von endlich vielen Vektoren
> "aufgespannt" wird, entnehm ich doch, dass die Vektoren
> [mm]v_{1}, v_{2},[/mm] ...... , [mm]v_{n}[/mm] linear unabhängig sein
> müssen oder? ich geh davon aus.
ich nicht. Wird V von den Vektoren [mm]v_{1}, v_{2},[/mm] ...... , [mm]v_{n}[/mm] aufgespannt, so gibt es eine Basis B von V mit
[mm]B \subseteq \{v_{1}, v_{2},..,,v_{n}\}[/mm]
Beispiel: [mm] \IR^2 [/mm] wird aufgespannt von [mm] \vektor{1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1}, \vektor{4711 \\ 110}
[/mm]
>
> dann würd ich so argumentieren:
> Definiere [mm]v_{1}[/mm] = (1,0,0,0......,0),
> [mm]v_{2}=(0,1,0,0.......,0),....[/mm] , [mm]v_{n}[/mm] =
> (0,0,0,0...........,1).
>
Das ist Unsinn. Du gehst ja schon davon aus , dass V endlichdim. ist !!!
FRED
> so bilden die n Vektoren eine Basis der Länge n.
> Dementsprechend ist der Vektorraum von endlicher
> Dimension.
>
>
>
>
> klingt mir irgendwie zu knapp find ich. reicht das so,
> fehlt da was? hätte gerne mehr text und so ^^ fällt mir
> aber nicht viel mehr ein.
>
|
|
|
| |
|
heyhey,
ist dein beispiel nicht ebenfalls linear unabhängig?
also hab 2 wichtige sätze:
1. V hat genau dann die Dimension n, wenn in V eine Basis der Länge n existiert.
2.Vektorraum hat die endliche Dimension n wenn gilt:
V enthält n linear unabhängige Vektoren.
Sprich ich muss zeigen, dass n vektoren linear unabhängig sind oder aus n vektoren die basislänge N erzeugt wird.
Frage: Wenn die Vektoren, die einen Vektorraum aufspannen, nicht linear unabhängig sein müssen, wäre es ja so, dass man zur basisbildung bei n vektoren (wäre einer z.b. abhängig) einen rausschmeissen kann, dann wären es n-1 vektoren die lin. unabh. sind und damit die Basis ja nicht n-ter Länge wäre und somit V nicht Dimension n. Das alles würde ja der Aufgabenstellung wiedersprechen oder?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:16 Mi 30.11.2011 | | Autor: | hippias |
> heyhey,
> ist dein beispiel nicht ebenfalls linear unabhängig?
Nein, die Beispielvektoren sind linear abhaengig.
>
> also hab 2 wichtige sätze:
>
> 1. V hat genau dann die Dimension n, wenn in V eine Basis
> der Länge n existiert.
>
> 2.Vektorraum hat die endliche Dimension n wenn gilt:
> V enthält n linear unabhängige Vektoren.
>
>
> Sprich ich muss zeigen, dass n vektoren linear unabhängig
> sind oder aus n vektoren die basislänge N erzeugt wird.
>
>
>
> Frage: Wenn die Vektoren, die einen Vektorraum aufspannen,
> nicht linear unabhängig sein müssen, wäre es ja so, dass
> man zur basisbildung bei n vektoren (wäre einer z.b.
> abhängig) einen rausschmeissen kann, dann wären es n-1
> vektoren die lin. unabh. sind und damit die Basis ja nicht
> n-ter Länge wäre und somit V nicht Dimension n. Das alles
> würde ja der Aufgabenstellung wiedersprechen oder?
Nein, das ist genau der Gedanke, den Du verfolgen solltest. Wenn eine Menge einen VR aufspannt bedeutet dies ersteinmal nur, dass sich jeder Vektor dieses Raumes als Linearkombination von Vektoren der Aufspannmenge darstellen laesst; diese Darstellung muss aber keineswegs eindeutig sein wie es bei einer Basis waere, weil die Vektoren des Erzeugendensystems eben linear abhaengig sein koennten. Daher laesst Du einige Vektoren aus der Menge fort. Viel Erfolg!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:22 Mi 30.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> heyhey,
> ist dein beispiel nicht ebenfalls linear unabhängig?
>
> also hab 2 wichtige sätze:
>
> 1. V hat genau dann die Dimension n, wenn in V eine Basis
> der Länge n existiert.
>
> 2.Vektorraum hat die endliche Dimension n wenn gilt:
> V enthält n linear unabhängige Vektoren.
Wo hast Du denn diesen "Satz" her. Das ist doch völliger Blödsinn !
Der Vektorraum V aller reellen Polynome ist unendlichdimensional. Für jedes n [mm] \in \IN [/mm] sind die Polynome
[mm] 1,x,x^2,...,x^n
[/mm]
in V lin. unabhängig.
FRED
>
>
> Sprich ich muss zeigen, dass n vektoren linear unabhängig
> sind oder aus n vektoren die basislänge N erzeugt wird.
>
>
>
> Frage: Wenn die Vektoren, die einen Vektorraum aufspannen,
> nicht linear unabhängig sein müssen, wäre es ja so, dass
> man zur basisbildung bei n vektoren (wäre einer z.b.
> abhängig) einen rausschmeissen kann, dann wären es n-1
> vektoren die lin. unabh. sind und damit die Basis ja nicht
> n-ter Länge wäre und somit V nicht Dimension n. Das alles
> würde ja der Aufgabenstellung wiedersprechen oder?
|
|
|
| |
|
hi,
ich bezweifle stark dass diese Sätze Schwachsinn sind, da sie aus unserem Lineare Algebra Buch stammen Wort für Wort, und da mit Sicherheit kein Blödsinn drin steht.
Also kann man sagen dass die Basis [mm] \le [/mm] der Anzahl Vektoren ist, die den Vektorraum aufspannen oder? Dann könnte man ja argumentieren, dass die Dimension "beschränkt" ist.
mein problem nur ist, wenn die Basis "kleiner als endlich" sein kann, kann auch die Aussage an sich falsch sein oder?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:31 Do 01.12.2011 | | Autor: | hippias |
> hi,
> ich bezweifle stark dass diese Sätze Schwachsinn sind, da
> sie aus unserem Lineare Algebra Buch stammen Wort für
> Wort, und da mit Sicherheit kein Blödsinn drin steht.
Wenn ich es auch anders formuliert haette: So wie Du es gepostet hast, ist die Behauptung tatsaechlich falsch; siehe Freds Gegebeispiel. Aber das ist fuer Deine Aufgabe wohl nicht entscheidend, sondern fuer das allgemenine mathematische Verstaendniss wichtig.
>
> Also kann man sagen dass die Basis [mm]\le[/mm] der Anzahl Vektoren
Besser: lso kann man sagen dass die Anzahl der Basisvektoren [mm]\le[/mm] der Anzahl Vektoren usw.
> ist, die den Vektorraum aufspannen oder? Dann könnte man
> ja argumentieren, dass die Dimension "beschränkt" ist.
Gut.
> mein problem nur ist, wenn die Basis "kleiner als endlich"
> sein kann, kann auch die Aussage an sich falsch sein oder?
Das verstehe ich leider nicht. Mein Tip: Zeige, dass man aus dem Erzeugendensystem die Vektoren auszusondern kann, die die lineare Unabhaengigkeit stoeren, so, dass eine linear unabhaenginge Menge uebrig bleibt, die noch immer den Raum erzeugt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:05 Do 01.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> hi,
> ich bezweifle stark dass diese Sätze Schwachsinn sind, da
> sie aus unserem Lineare Algebra Buch stammen Wort für
> Wort, und da mit Sicherheit kein Blödsinn drin steht.
Das:
".Vektorraum hat die endliche Dimension n wenn gilt: V enthält n linear unabhängige Vektoren."
steht also in Eurem Buch ? Wenn ja (was ich nicht glaube), so steht in diesem Buch doch Blödsinn drin.
FRED
>
> Also kann man sagen dass die Basis [mm]\le[/mm] der Anzahl Vektoren
> ist, die den Vektorraum aufspannen oder? Dann könnte man
> ja argumentieren, dass die Dimension "beschränkt" ist.
> mein problem nur ist, wenn die Basis "kleiner als endlich"
> sein kann, kann auch die Aussage an sich falsch sein oder?
|
|
|
|
