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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:46 So 07.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Sei G eine endliche Gruppe, deren Elemente sämtlich eine Ordnung [mm] \le [/mm] 2 haben. Zeigen Sie:
a) G ist abelsch.
b) Die Ordnung von G ist eine Potenz von 2. |
Ohne zu wissen, ob überhaupt etwas Sinnvolles darunter zu finden ist, stelle ich kurz vor, welche "Idee" ich bisher für die Teilaufgabe a) habe:
G ist abelsch, wenn gh=hg für [mm] g,h\in [/mm] G.
Aufgrund der Abgeschlossenheit von G sind gh bzw. hg natürlich Elemente der Gruppe und demnach gilt für sie:
|gh|=|hg| [mm] \le [/mm] 2, lt. Aufgabenstellung.
Die Ordnung eines Elements m einer Gruppe ist die kleinste Zahl [mm] k\in \IN, [/mm] für die gilt:
[mm] m^k=e [/mm] (e ist das neutrale Element der Gruppe).
D.h. für die konkrete Aufgabe (k [mm] \le [/mm] 2):
[mm] (gh)^k=g^kh^k=e, [/mm] also [mm] g^k=(h^k)^{-1} [/mm] bzw. [mm] h^k=(g^k)^{-1}.
[/mm]
Demnach gilt auch: [mm] h^kg^k=(hg)^k=e.
[/mm]
Also gilt [mm] (gh)^k=(hg)^k=e \gdw[/mm] [mm] gh=hg.[/mm]
G ist abelsch. [mm] \Box
[/mm]
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Anmerkung:
Für Teilaufgabe b) kann ich leider nichts vorschlagen, da ich schlichtweg keine Idee für einen Beweis habe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:08 So 07.11.2010 | | Autor: | moudi |
Hallo dennis2
> Sei G eine endliche Gruppe, deren Elemente sämtlich eine
> Ordnung [mm]\le[/mm] 2 haben. Zeigen Sie:
>
> a) G ist abelsch.
> b) Die Ordnung von G ist eine Potenz von 2.
>
>
> Ohne zu wissen, ob überhaupt etwas Sinnvolles darunter zu
> finden ist, stelle ich kurz vor, welche "Idee" ich bisher
> für die Teilaufgabe a) habe:
>
> G ist abelsch, wenn gh=hg für [mm]g,h\in[/mm] G.
> Aufgrund der Abgeschlossenheit von G sind gh bzw. hg
> natürlich Elemente der Gruppe und demnach gilt für sie:
>
> |gh|=|hg| [mm]\le[/mm] 2, lt. Aufgabenstellung.
>
> Die Ordnung eines Elements m einer Gruppe ist die kleinste
> Zahl [mm]k\in \IN,[/mm] für die gilt:
>
> [mm]m^k=e[/mm] (e ist das neutrale Element der Gruppe).
>
> D.h. für die konkrete Aufgabe (k [mm]\le[/mm] 2):
> [mm](gh)^k=g^kh^k=e,[/mm] also [mm]g^k=(h^k)^{-1}[/mm] bzw. [mm]h^k=(g^k)^{-1}.[/mm]
Aufgepasst: In Gruppen gilt nicht [mm] $(gh)^k=g^kh^k$. [/mm] Das gilt nur wenn die Gruppe abelsch ist, aber das sollst du ja gerade zeigen. In nicht abelschen Gruppen gilt [mm] $(gh)^k=ghgh\ldots [/mm] gh$.
>
> Demnach gilt auch: [mm]h^kg^k=(hg)^k=e.[/mm]
> Also gilt [mm](gh)^k=(hg)^k=e \gdw[/mm] [mm]gh=hg.[/mm]
Auch dieser Schluss ist nicht zulaessig. In jeder endlichen Gruppe gilt [mm] $g^{|G|}=e$ [/mm] daher gilt fuer $k=|G|$ in jeder endlichen Gruppe [mm] $g^k=h^k$ [/mm] aber sicher nicht $g=h$.
>
> G ist abelsch. [mm]\Box[/mm]
Tipp: Starte mit der Gleichung [mm] $(gh)^2=e$. [/mm] Multipliziere diese Gleichung von links mit $g$ und dann mit $h$ und benutze, dass [mm] $g^2=h^2=e$ [/mm] ist.
>
> ---
> Anmerkung:
>
> Für Teilaufgabe b) kann ich leider nichts vorschlagen, da
> ich schlichtweg keine Idee für einen Beweis habe.
Tipp: Mache eine Induktion nach $n=|G|$ der Gruppenordnung. Nuetze aus, dass jede Untergruppe einer abelschen Gruppe ein Normalteiler ist, und dass die die Quotientengruppe (bei nicht trivialer Untergruppe) kleinere Ordnung hat als G.
>
mfG Moudi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:34 Mo 08.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Ich beherzige Deinen Tipp zu a) und versuche es folgendermaßen:
Ich betrachte
[mm] (gh)^2=e.
[/mm]
Weiter:
[mm] h*g*(gh)^2=h*g*e, [/mm] d.h.
[mm] h*g*(gh)^1*(gh)^1=h*g*e
[/mm]
Die Assoziativität der Gruppe erlaubt eine Umklammerung:
h*(gg)*h*gh=h*g*e also
h*e*h*gh=h*g*e und weiter h*h*gh=h*g*e.
Somit letztendlich
gh=hg und damit ist die Gruppe abelsch. |
Ist das so korrekt?
Eine kurze Frage hierzu noch: Habe ich denn jetzt nicht nur den Fall gezeigt - natürlich vorausgesetzt, mein Beweis stimmt überhaupt - dass die Ordnung der Elemente exakt 2 ist? Was ist mit den Ordnungen <2?
Der Tipp für Teilaufgabe b) ist mit Sicherheit sehr intelligent und hilfreich, jedoch wurden in der Vorlesung bisher Nebenklassen usw. nicht behandelt.
Daher frage ich mich, ob es einen anderen Beweis gibt, der sich "nur" der Gruppenaxiome bedient. (Andererseits ist natürlich nicht ausgeschlossen, dass man sich die weiter gehenden Kenntnisse selbst erarbeiten soll.)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:05 Mo 08.11.2010 | | Autor: | moudi |
zu a) Ja der Beweis ist so korrekt. Wenn ein Element g die Ordnung 1 hat (nur das Neutralelement hat diese Ordnung), dann gilt [mm] $g^1=e$ [/mm] aber daraus folgt natuerlich dass [mm] $g^2=(g^1)^2=e^2^=e$.
[/mm]
zu b) Ohne irgendwelche Zusatzkenntnisse, laesst es sich nicht direkt aus den Gruppenaxiomen herleiten. Ich sehe keinen anderen Weg als Induktion.
mfG Moudi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Mo 08.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
Ich werde das mal versuchen und dann meine Resultate hier posten. Vielleicht gelingt mir ja etwas.
Danke für die Hilfe.
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