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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:15 Do 13.11.2008 | | Autor: | tugba |
| Aufgabe | sei [mm] f:=x^{3}-x+1 \in \IF_{3}[x].
[/mm]
1. Sei nun [mm] K:=\IF_{3}[a] [/mm] ein Stammkörper von f (wobei a eine Nullstelle von f bezechnet). Bringe die folgenden Elemente in Normalform (bzgl. a):
(a) 1/(a+1)
(b) [mm] (a^{2}-1)/((a+1)
[/mm]
(b) [mm] (a^{3}+a+1)/(a^{2}+2a+1)
[/mm]
2. Bestimme das Minimalpolynom und die multiplikative Ordnung von
b:=2a+2
3. Finde ein Element y [mm] \in [/mm] K mit ord(y)=26 |
Hallo,
Ich brauche einpaar Tipps wie ich die Aufgaben zu lösen habe. Ich habe versucht die Aufgaben zu lösen,
zu 1: (a) zuerst habe ich [mm] (a^{3}+a+1):(a+1)= a^{2}-a [/mm] ausgerechnet, dann habe ich [mm] \underbrace{(a^{3}+a+1)}_{=0}=(a+1)(a^{2}-a)+1 [/mm]
=> 1/(a+1)= [mm] -a^{2}+a
[/mm]
(b) [mm] (a^{2}-1)/(a+1)=(a+1)(a-1)/(a+1)=a-1
[/mm]
(c) hier habe ich zuerst [mm] (a^{3}+a+1):(a^{2}+2a+1)=(a+1)+a/(a^{2}+2a+1) [/mm] jetzt weiß ich nicht wie ich weiter rechnen soll.
zu 2: hier habe ich, um den minimalpolynom zu bestimmen die ersten Potenzen von b berechnet:
[mm] b^{0}=1, [/mm] b=2a+2, [mm] b^{2}= 4a^{2}+4a+4=a^{2}+a+1, b^{3}=2a^{3}+4a^{2}+4a+2=2a^{3}+a^{2}+a+2 [/mm] weiter komme ich nicht und ich weis auch nicht was mit multikativer ordnung gemeint ist.
zu 3: Hier weis ich das ich ein element suche, was [mm] y^{26}=1 [/mm] sein muss, aber wie ich das machen muss weis ich auch nicht.
Ich bitte um eine schnelle Hilfe....
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Hallo liebe Tugba,
erstmal ein Tipp: die Fälligkeit der Frage kann man unten kurz über dem Senden-Button des Frageformulars einstellen. Ich glaube 48 Stunden sind die Standardzeit, aber wir haben für die Abgabe ja noch etwas länger. Nun wird aber nach 48 Stunden dieser Artikel in das Forum "für Interessierte" verschoben, d.h. die Chance, dass danach noch jemand den Artikel liest, sinkt erheblich.
Zu dem Polynom fällt mir erstmal ein, dass -1 in [mm]\IF_{3}[/mm] gleich 2 ist ( Denn [mm]-1=(-1)*3+2[/mm] also [mm]-1\equiv 2 \ mod \ 3[/mm]. Damit müsste das Polynom auch irreduzibel sein. Wie wir das zeigen, weiß ich leider auch noch nicht. Die einfachste Methode wäre vermutlich, alle irreduziblen Polynome kleineren Grades zu bestimmen und dann zu zeigen, dass diese keine Teiler von f sind.
zur multiplikativen Ordnung: Die Ordnungsrelation wird ja immer auf Gruppen definiert. Meiner Meinung nach ist in diesem Fall die Gruppe [mm](K,*)[/mm] gemeint. Jedenfalls geht es auch darum, wie oft man das Element mit sich selbst multiplizieren muss, um das Multiplikativ Neutrale, also die 1, zu erhalten.
Ich rechne nochmal ein bisschen rum, und dann schreib ich nochmal.
Liebe Grüße
stinkestern
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:49 Fr 14.11.2008 | | Autor: | tugba |
Hallo stinkstern,
Ich wei wie ich die irreduzibilität des polynoms zeigen könnte, ch rechne einfach [mm] f(0)=1\not=0, f(1)=1\not=0 [/mm] und noch [mm] f(2)=1\not=0 [/mm] und somit hat der polynom keine Nullstellen in [mm] \IF_{3} [/mm] und ist irreduzibel.
Bei der Rest der Aufgaben komme ich nicht weiter.
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Normalerweise bauen solche Aufgaben aufeinander auf.
c) [mm] (a^{3}+a+1)/(a+1)^{2} [/mm] = [mm] (a^{2}-a+2 [/mm] - [mm] \bruch{1}{a+1})/(a+1) [/mm] = [mm] (2a^{2}-2a+2)/(a+1) [/mm] wobei a) verwendet wurde. Usw.
Oder auch: = [mm] (a^{3}+a+1) [/mm] * [mm] (-a^{2}+a)^{2}, [/mm] ebenfalls mit a). Usw.
2) a Nullstelle von f, also [mm] a^{3} [/mm] = a-1.
[mm] b^{3} [/mm] = ... = 2 * (a-1) + [mm] a^{2} [/mm] + a + 2 = [mm] a^{2}. [/mm] Usw.
Mulitplikative Ordnung ist das kleinste k>0 mit [mm] b^{k} [/mm] = 1.
Da [mm] \IF_{3} [/mm] und f = [mm] x^{3}..., [/mm] sollte Ordnung stets < [mm] 3^{3} [/mm] = 27 sein. Notfalls also eine Weile lang rechnen.
In K sind doch nur [mm] c_{2}*a^{2} [/mm] + [mm] c_{1}*a+c_{0} [/mm] mit [mm] c_{i} [/mm] = 0,1,2. Notfalls alle durchprobieren.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:45 Fr 14.11.2008 | | Autor: | statler |
Hi!
> Mulitplikative Ordnung ist das kleinste k>0 mit [mm]b^{k}[/mm] = 1.
>
> Da [mm]\IF_{3}[/mm] und f = [mm]x^{3}...,[/mm] sollte Ordnung stets < [mm]3^{3}[/mm] =
> 27 sein. Notfalls also eine Weile lang rechnen.
Da die multiplikative Gruppe die Null nicht enthält, hat sie 26 Elemente und ist zyklisch. Damit hat sie 12 erzeugende Elemente, und alle Elemente haben die Ordnung 1 (1 St.) oder 2 (1 St.) oder 13 (12 St.) oder 26 (12 St.).
Mit diesem Wissen kann ich das Probieren vllt. etwas ökonomischer gestalten.
Gruß
Dieter
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zu 1a): Ich habe durch den Ansatz [mm] 1/(a+1) = (a+1)^(-1)[/mm] und euklidischen Algorithmus als Lösung [mm]-a^2-a[/mm]
zu 1c) Bitte mal drübergucken:
Ich habe Teil a) in den Nenner eingesetzt und erhalte also
[mm](a^3+a+1)*(-a^2-a)^2[/mm]
[mm]= a^7+2a^6+2a^5+3a^5+3a^3+a^2 [/mm]
Nun habe ich [mm]a^3=a-1[/mm] eingesetzt:
[mm]=(a-1)^2a+2(a-1)^2+2(a-1)a^2+3(a-1)a+3a^3+a^2[/mm]
[mm]=...=6a^3-2a^2-6a+2=-2a^2+2[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:00 Sa 15.11.2008 | | Autor: | tugba |
hallo,
so habe ich die Aufgaben auch gelöst und die gleichen Ergebnisse rausbekommen. Bei 1c) habe ich auch die dritte binomische Formle benutzt.
gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:31 So 16.11.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> zu 1a): Ich habe durch den Ansatz [mm]1/(a+1) = (a+1)^(-1)[/mm] und
> euklidischen Algorithmus als Lösung [mm]-a^2-a[/mm]
Das kann man ja einfach ueberpruefen: $(a + 1) [mm] (-a^2 [/mm] - a) = [mm] -a^3 [/mm] - [mm] a^2 [/mm] - [mm] a^2 [/mm] - a = [mm] -a^3 [/mm] + [mm] a^2 [/mm] - a = (-a + 1) + [mm] a^2 [/mm] - a = [mm] a^2 [/mm] + a + 1$, und das ist nicht Eins.
> zu 1c) Bitte mal drübergucken:
> Ich habe Teil a) in den Nenner eingesetzt und erhalte
> also
Das klappt natuerlich nur wenn Teil a) auch korrekt ist.
LG Felix
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Zu 1.(b): hier wurde ja nur die 3. binomische Formel verwendet. Das kommt mir irgendwie so einfach vor. Zu einfach. Meint ihr, da gibt es einen Haken?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:22 So 16.11.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Zu 1.(b): hier wurde ja nur die 3. binomische Formel
> verwendet. Das kommt mir irgendwie so einfach vor. Zu
> einfach. Meint ihr, da gibt es einen Haken?
Solange $a + 1$ eine Einheit ist (was es schon sein sollte, da sonst dadurch Teilen eh keinen Sinn macht) gibt es keinen Haken.
LG Felix
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