endliche Körper < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:10 So 20.01.2013 | | Autor: | Klerk91 |
| Aufgabe | Sehe ich das richtig, dass endliche Körper der Ordnung [mm] p^n [/mm] immer isomorph sind zu den Lösungen der Gleichungen:
[mm] x^{p^n}-x=0 [/mm] ich meine 0 liegt drin, 1 liegt drin und abgeschlossen unter inversenbildung bzg. + und * ist es auch. |
Ist es daher richtig, dass diese isomorphie stets gilt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:03 So 20.01.2013 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sehe ich das richtig, dass endliche Körper der Ordnung [mm]p^n[/mm]
> immer isomorph sind zu den Lösungen der Gleichungen:
> [mm]x^{p^n}-x=0[/mm] ich meine 0 liegt drin, 1 liegt drin und
> abgeschlossen unter inversenbildung bzg. + und * ist es
> auch.
Solange du das in einem gross genugen Koerper der Charakteristik $p$ betrachtest (etwa einem algebraisch abgeschlossenen; schliesslich muss es [mm] $p^n$ [/mm] verschiedene Loesungen geben), stimmt das.
> Ist es daher richtig, dass diese isomorphie stets gilt?
Wie gesagt: du brauchst Charakteristik $p$, andernfalls bringt dir das nichts. Die Loesungen von [mm] $x^{2^2} [/mm] - x = 0$ in [mm] $\IC$ [/mm] liefern dir keinen Koerper mit 4 Elementen, da es allein schon bzgl. $+$ nicht abgeschlossen ist.
LG Felix
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