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endliche Körper: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:57 Fr 07.11.2003
Autor: julia

Aufgabe
Es sei $(K,+,*)$ ein Körper und [mm] $n\in\IN=\{1,2,3,\ldots\}$ [/mm]

a) Gilt für ein [mm] $0\not=a\in [/mm] K$ die Gleichung $n*a:= [mm] a+a+a+\ldots+a=0$, [/mm] so gilt $n*x=0$ für alle [mm] $x\in [/mm] K$. Die Zahl $n$ ist eine Primzahl, falls $n$ minimal mit dieser Eigenschaft ist.

b) Ist $(K,+;*)$ ein endlicher Körper und die Anzahl der Elemente gerade, so gilt $x+x=0$ für alle [mm] $x\in [/mm] K$.

c) Es sei [mm] $K=(\{0,1,a,b\},+,*)$ [/mm] ein Körper mit 4 Elementen. Man bestimme die Verknüpfungstafeln für + und *!


Könntest du mir mal ein paar Tips zu der Aufgabe geben!!
C) ist mir einigermaßen klar aber an den anderen haben wir uns schon dumm und dämlich gerechnet!! und bewiesen!!

Dankeschön


        
Bezug
endliche Körper: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:12 Fr 07.11.2003
Autor: Stefan

Hallo Julia,

willkommen im Matheraum! :-)

Zu a)

[mm]n \cdot x = (n \cdot a) \cdot (a^{-1} \cdot x) = \ldots[/mm]

Na? ;-) Poste uns mal den Beweis zur Kontrolle.

Nun: Sei n minimal und nicht prim. Dann gibt es [mm]a,\, b[/mm] mit [mm]a,b>1[/mm] und [mm]n=a\cdot b[/mm] sowie

[mm]0 = n \cdot x = a \cdot b \cdot x [/mm]

Nun ja, und jetzt? Tipp: Körper sind nullteilerfrei.

Versuche jetzt mal a). Anschließend geht es dann weiter. :-)

Alles Gute
Stefan


Bezug
                
Bezug
endliche Körper: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:34 Fr 07.11.2003
Autor: Stefan

Zu b)

Wir betrachten die Abbildung, die jedem Element ihr additives Inverses zuordnet. Dann wird 0 auf 0 abgebildet und zudem wird, wenn a auf b abgebildet wird, auch b auf a abgebildet. Daraus folgt: Es muss ein weiteres, von 0 verschiedenes Körperelement geben, nennen wir es [mm] x_0, [/mm] das auf sich selber abgebildet wird.

Nun sei x ein beliebiges Körperelement.

Dann gilt:

[mm]x + x = x_0^{-1} \cdot (x_0 \cdot x + x_0 \cdot x) = x_0^{-1} \cdot (x_0 \cdot x + (-x_0)\cdot x) = 0.[/mm]

(Bitte beim Aufschreiben genauer begründen, unter Zuhilfenahme der Körperaxiome.)

Meldet euch doch mal wieder bei Fragen!

Alles Gute
Stefan


Bezug
                        
Bezug
endliche Körper: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:44 Fr 07.11.2003
Autor: julia

Hi Stefan!!

Vielen Dank für die Tips!! Ich werd sie mal durchdenken!!

Darf ich noch ein paar Fragen stellen wenn nicht alles klar ist!!?? :o)

Danke schon mal

Julia

Bezug
                                
Bezug
endliche Körper: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:44 Sa 08.11.2003
Autor: Stefan

Hallo Julia,

klar darfst du Fragen stellen. Soviele du willst!! Dafür sind wir schließlich da. :-) Du kannst mir auch gerne deine Beweise/Antworten hier ins Forum schreiben, dann kontrolliere/korrigiere ich sie dir.

Alles Gute
Stefan



Nachricht bearbeitet (Sa 08.11.03 11:45)

Bezug
                                        
Bezug
endliche Körper: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:46 So 09.11.2003
Autor: julia

Hallo Marc!!

Gut, dass du noch online bist!!

Stefan hatte uns zu unsere Aufgabe schon gute Tips gegeben, doch irgendwie steigen wir noch nicht ganz so sicher durch die Materie!!
Vielleicht auch, weil uns mal wieder die Zeit im Nacken sitzt!!
Kannst du uns noch mal mit der a und b weiterhelfen!!

Vielleicht ein wenig ausführlicher!!??

Das wäre echt super lieb!!

Vielen Dank

Julia

Bezug
                                                
Bezug
endliche Körper: zu a)
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:09 So 09.11.2003
Autor: Marc

Hallo Julia

> Stefan hatte uns zu unsere Aufgabe schon gute Tips gegeben,
> doch irgendwie steigen wir noch nicht ganz so sicher durch die
> Materie!!
> Vielleicht auch, weil uns mal wieder die Zeit im Nacken sitzt!!
> Kannst du uns noch mal mit der a und b weiterhelfen!!

Klar ;-)

Also, als Voraussetzung haben wir: [mm] n*a=0, 0\neq a \in K [/mm]
Zu zeigen ist nun: [mm] n*x=0 \forall x\in K[/mm]
Jetzt hat Stefan ja schon den entscheidenen Tipp gegeben:

[mm] n*x=0[/mm]
[mm]\Leftrightarrow[/mm] [mm] n*1*x = 0 [/mm]
[mm]\Leftrightarrow[/mm] [mm] n*\underbrace{a*a^{-1}}_{=1}*x = 0 [/mm]
Nach Voraussetzung gilt:
[mm]\Leftrightarrow[/mm] [mm] \underbrace{n*a}_{=0}*a^{-1}*x = 0 [/mm]
[mm]\Leftrightarrow[/mm] [mm] 0*a^{-1}*x = 0 [/mm]
[mm]\Leftrightarrow[/mm] [mm] 0 = 0 [/mm]
Also war unsere anfängliche Aussage richtig.

Nun zu der Behauptung, dass das minimale n prim wäre.

Stefan schrieb ja bereits:
Sei n minimal und nicht prim. Dann gibt es [mm]a,\, b[/mm] mit [mm]a,b>1[/mm] und [mm]n=a\cdot b[/mm] sowie

[mm]0 = n \cdot x = a \cdot b \cdot x [/mm]

(Körper sind nullteilerfrei.)
[mm]\Rightarrow[/mm][mm]0=a*x[/mm] oder [mm]0=b*x[/mm]

Das ist ein Widerspruch, denn wir haben eine kleinere Zahl (a oder b) gefunden mit der Eigenschaft [mm]n*x=0[/mm]. n war also nicht die kleinste Zahl mit dieser Eigenschaft.

Jetzt alles klar?

Falls nicht, fragt bitte nach.

Gruß,
Marc


Bezug
                                                
Bezug
endliche Körper: zu b)
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:55 So 09.11.2003
Autor: Marc

Hallo Julia,

bei b) müßtest du schon genauer schreiben, was dir an Stefans Beweis nicht klar ist. Ich finde ihn ziemlich einleuchtend...

Gruß,
Marc


Bezug
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