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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:57 Fr 07.11.2003 | | Autor: | julia |
| Aufgabe | Es sei $(K,+,*)$ ein Körper und [mm] $n\in\IN=\{1,2,3,\ldots\}$
[/mm]
a) Gilt für ein [mm] $0\not=a\in [/mm] K$ die Gleichung $n*a:= [mm] a+a+a+\ldots+a=0$, [/mm] so gilt $n*x=0$ für alle [mm] $x\in [/mm] K$. Die Zahl $n$ ist eine Primzahl, falls $n$ minimal mit dieser Eigenschaft ist.
b) Ist $(K,+;*)$ ein endlicher Körper und die Anzahl der Elemente gerade, so gilt $x+x=0$ für alle [mm] $x\in [/mm] K$.
c) Es sei [mm] $K=(\{0,1,a,b\},+,*)$ [/mm] ein Körper mit 4 Elementen. Man bestimme die Verknüpfungstafeln für + und *! |
Könntest du mir mal ein paar Tips zu der Aufgabe geben!!
C) ist mir einigermaßen klar aber an den anderen haben wir uns schon dumm und dämlich gerechnet!! und bewiesen!!
Dankeschön
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:34 Fr 07.11.2003 | | Autor: | Stefan |
Zu b)
Wir betrachten die Abbildung, die jedem Element ihr additives Inverses zuordnet. Dann wird 0 auf 0 abgebildet und zudem wird, wenn a auf b abgebildet wird, auch b auf a abgebildet. Daraus folgt: Es muss ein weiteres, von 0 verschiedenes Körperelement geben, nennen wir es [mm] x_0, [/mm] das auf sich selber abgebildet wird.
Nun sei x ein beliebiges Körperelement.
Dann gilt:
[mm]x + x = x_0^{-1} \cdot (x_0 \cdot x + x_0 \cdot x) = x_0^{-1} \cdot (x_0 \cdot x + (-x_0)\cdot x) = 0.[/mm]
(Bitte beim Aufschreiben genauer begründen, unter Zuhilfenahme der Körperaxiome.)
Meldet euch doch mal wieder bei Fragen!
Alles Gute
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:44 Fr 07.11.2003 | | Autor: | julia |
Hi Stefan!!
Vielen Dank für die Tips!! Ich werd sie mal durchdenken!!
Darf ich noch ein paar Fragen stellen wenn nicht alles klar ist!!?? :o)
Danke schon mal
Julia
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:44 Sa 08.11.2003 | | Autor: | Stefan |
Hallo Julia,
klar darfst du Fragen stellen. Soviele du willst!! Dafür sind wir schließlich da.  Du kannst mir auch gerne deine Beweise/Antworten hier ins Forum schreiben, dann kontrolliere/korrigiere ich sie dir.
Alles Gute
Stefan
Nachricht bearbeitet (Sa 08.11.03 11:45)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:46 So 09.11.2003 | | Autor: | julia |
Hallo Marc!!
Gut, dass du noch online bist!!
Stefan hatte uns zu unsere Aufgabe schon gute Tips gegeben, doch irgendwie steigen wir noch nicht ganz so sicher durch die Materie!!
Vielleicht auch, weil uns mal wieder die Zeit im Nacken sitzt!!
Kannst du uns noch mal mit der a und b weiterhelfen!!
Vielleicht ein wenig ausführlicher!!??
Das wäre echt super lieb!!
Vielen Dank
Julia
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:09 So 09.11.2003 | | Autor: | Marc |
Hallo Julia
> Stefan hatte uns zu unsere Aufgabe schon gute Tips gegeben,
> doch irgendwie steigen wir noch nicht ganz so sicher durch die
> Materie!!
> Vielleicht auch, weil uns mal wieder die Zeit im Nacken sitzt!!
> Kannst du uns noch mal mit der a und b weiterhelfen!!
Klar 
Also, als Voraussetzung haben wir: [mm] n*a=0, 0\neq a \in K [/mm]
Zu zeigen ist nun: [mm] n*x=0 \forall x\in K[/mm]
Jetzt hat Stefan ja schon den entscheidenen Tipp gegeben:
[mm] n*x=0[/mm]
[mm]\Leftrightarrow[/mm] [mm] n*1*x = 0 [/mm]
[mm]\Leftrightarrow[/mm] [mm] n*\underbrace{a*a^{-1}}_{=1}*x = 0 [/mm]
Nach Voraussetzung gilt:
[mm]\Leftrightarrow[/mm] [mm] \underbrace{n*a}_{=0}*a^{-1}*x = 0 [/mm]
[mm]\Leftrightarrow[/mm] [mm] 0*a^{-1}*x = 0 [/mm]
[mm]\Leftrightarrow[/mm] [mm] 0 = 0 [/mm]
Also war unsere anfängliche Aussage richtig.
Nun zu der Behauptung, dass das minimale n prim wäre.
Stefan schrieb ja bereits:
Sei n minimal und nicht prim. Dann gibt es [mm]a,\, b[/mm] mit [mm]a,b>1[/mm] und [mm]n=a\cdot b[/mm] sowie
[mm]0 = n \cdot x = a \cdot b \cdot x [/mm]
(Körper sind nullteilerfrei.)
[mm]\Rightarrow[/mm][mm]0=a*x[/mm] oder [mm]0=b*x[/mm]
Das ist ein Widerspruch, denn wir haben eine kleinere Zahl (a oder b) gefunden mit der Eigenschaft [mm]n*x=0[/mm]. n war also nicht die kleinste Zahl mit dieser Eigenschaft.
Jetzt alles klar?
Falls nicht, fragt bitte nach.
Gruß,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:55 So 09.11.2003 | | Autor: | Marc |
Hallo Julia,
bei b) müßtest du schon genauer schreiben, was dir an Stefans Beweis nicht klar ist. Ich finde ihn ziemlich einleuchtend...
Gruß,
Marc
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