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| Aufgabe | Sei p eine Primzahl, n eine positive ganze Zahl und [mm] K=\mathbb{F}_{p^{n}} [/mm] der Körper mit [mm] p^{n} [/mm] Elementen.
(1) Sei [mm] P=\mathbb{F}_{p} [/mm] der Primkörper von K. Welche Ordnung besitzt die Galoisgruppe [mm] Gal(K/\mathbb{F}_{p})?
[/mm]
(2) Wie viele Zwischenkörper besitzt [mm] \mathbb{F}_{p^{8}}/\mathbb{F}_{p}?
[/mm]
(3) Wie viele primitive Elemente besitzt die Erweiterung [mm] \mathbb{F}_{p^{3}}/\mathbb{F}_{p}?
[/mm]
(4) Wie viele normierte und irreduzible Polynome vom Grad 3 gibt es in [mm] \mathbb{F}_{p}[X]?
[/mm]
(5) Bestimmen Sie einen Erzeuger der multiplikativen Gruppe von [mm] \mathbb{F}_{2}[X]/(X^{5}+X^{2}+1). [/mm] |
Hallo,
bei (1) kommt n raus. Bei (2): Es sind 4 Zwischenkörper.
Mit den primitiven Elementen kenne ich mich nicht aus, bzw. habe darüber noch nichts gehört. Ich hätte jetzt gesagt, dass man einfach die Anzahl der primitivwurzeln der Galoisgruppe bestimmt. Demnach wäre das [mm] \varphi(\varphi(3))=1. [/mm] Ist das so richtig?
Leider habe ich keine Idee, wie man die Anzahl der normierten und irreduziblen Polynome vom Grad 3 bestimmen kann.
Ich befürchte aber, dass es nur ein Polynom gibt, dass normiert und irreduzibel zugleich ist (mal so ganz ohne Begründung, also geraten).
Zunächst mal sage ich, dass [mm] (X^{5}+X^{2}+1) [/mm] irreduzibel ist, das Ding also ein Körper ist. Sogar “der” Körper mit 32 Elementen. Die Frage ist nur, wie ich da an einen Erzeuger komme. Die multiplikative Gruppe enthält doch alle Elemente, bis auf 0, also insgesamt 31. Das mit dem Erzeuger bekomme ich trotzdem nicht hin.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:08 Mo 04.10.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei p eine Primzahl, n eine positive ganze Zahl und
> [mm]K=\mathbb{F}_{p^{n}}[/mm] der Körper mit [mm]p^{n}[/mm] Elementen.
>
> (1) Sei [mm]P=\mathbb{F}_{p}[/mm] der Primkörper von K. Welche
> Ordnung besitzt die Galoisgruppe [mm]Gal(K/\mathbb{F}_{p})?[/mm]
>
> (2) Wie viele Zwischenkörper besitzt
> [mm]\mathbb{F}_{p^{8}}/\mathbb{F}_{p}?[/mm]
>
> (3) Wie viele primitive Elemente besitzt die Erweiterung
> [mm]\mathbb{F}_{p^{3}}/\mathbb{F}_{p}?[/mm]
>
> (4) Wie viele normierte und irreduzible Polynome vom Grad 3
> gibt es in [mm]\mathbb{F}_{p}[X]?[/mm]
>
> (5) Bestimmen Sie einen Erzeuger der multiplikativen Gruppe
> von [mm]\mathbb{F}_{2}[X]/(X^{5}+X^{2}+1).[/mm]
> Hallo,
>
> bei (1) kommt n raus. Bei (2): Es sind 4 Zwischenkörper.
Ja.
> Mit den primitiven Elementen kenne ich mich nicht aus, bzw.
> habe darüber noch nichts gehört.
Ist $L/ K$ eine Koerpererweiterung, so ist [mm] $\alpha$ [/mm] genau dann ein primitives Element fuer $L/K$, wenn $L = [mm] K(\alpha)$ [/mm] ist.
> Ich hätte jetzt gesagt,
> dass man einfach die Anzahl der primitivwurzeln der
> Galoisgruppe bestimmt. Demnach wäre das
> [mm]\varphi(\varphi(3))=1.[/mm] Ist das so richtig?
Das hat nichts, aber auch gar nichts damit zu tun.
Ein Element aus $L$ ist primitives Element von $L/K$, wenn es in keinem echten Zwischenkoerper (also ein Koerper $M$ mit $K [mm] \subseteq [/mm] M [mm] \subsetneqq [/mm] L$) liegt.
Weche Zwischenkoerper kennst du von [mm] $\IF_{p^8} [/mm] / [mm] \IF_p$? [/mm] Was kannst du ueber ihre "kombinatorische" Struktur aussagen im Sinne von: sind sie ineinander enthalten? Was sind die Schnitte? ...?
> Leider habe ich keine Idee, wie man die Anzahl der
> normierten und irreduziblen Polynome vom Grad 3 bestimmen
> kann.
Zu jedem normierten irreduziblen Polynom von Grad 3 gehoeren genau drei Elemente von [mm] $\IF_{p^3}$, [/mm] welche nicht in [mm] $\IF_p$ [/mm] liegen. Damit kannst du die Anzahl sofort ausrechnen.
> Ich befürchte aber, dass es nur ein Polynom gibt, dass
> normiert und irreduzibel zugleich ist (mal so ganz ohne
> Begründung, also geraten).
Das ist Quark.
> Zunächst mal sage ich, dass [mm](X^{5}+X^{2}+1)[/mm] irreduzibel
> ist,
Du bist also bei Aufgabenteil 5? Es wuerd das ganze etwas lesbarer machen, wenn du sowas erwaehnst.
> das Ding also ein Körper ist. Sogar “der” Körper
> mit 32 Elementen. Die Frage ist nur, wie ich da an einen
> Erzeuger komme. Die multiplikative Gruppe enthält doch
> alle Elemente, bis auf 0, also insgesamt 31. Das mit dem
> Erzeuger bekomme ich trotzdem nicht hin.
Denk mal ein wenig nach. Ein Erzeuger hat Ordnung 31. Welche Ordnungen koennen Elemente in einer zyklischen Gruppe von Ordnung 31 haben?
LG Felix
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Hallo,
> Moin!
>
> > Sei p eine Primzahl, n eine positive ganze Zahl und
> > [mm]K=\mathbb{F}_{p^{n}}[/mm] der Körper mit [mm]p^{n}[/mm] Elementen.
> >
> > (1) Sei [mm]P=\mathbb{F}_{p}[/mm] der Primkörper von K. Welche
> > Ordnung besitzt die Galoisgruppe [mm]Gal(K/\mathbb{F}_{p})?[/mm]
> >
> > (2) Wie viele Zwischenkörper besitzt
> > [mm]\mathbb{F}_{p^{8}}/\mathbb{F}_{p}?[/mm]
> >
> > (3) Wie viele primitive Elemente besitzt die Erweiterung
> > [mm]\mathbb{F}_{p^{3}}/\mathbb{F}_{p}?[/mm]
> >
> > (4) Wie viele normierte und irreduzible Polynome vom Grad 3
> > gibt es in [mm]\mathbb{F}_{p}[X]?[/mm]
> >
> > (5) Bestimmen Sie einen Erzeuger der multiplikativen Gruppe
> > von [mm]\mathbb{F}_{2}[X]/(X^{5}+X^{2}+1).[/mm]
> > Hallo,
> >
> > bei (1) kommt n raus. Bei (2): Es sind 4 Zwischenkörper.
>
> Ja.
>
> > Mit den primitiven Elementen kenne ich mich nicht aus, bzw.
> > habe darüber noch nichts gehört.
>
> Ist [mm]L/ K[/mm] eine Koerpererweiterung, so ist [mm]\alpha[/mm] genau dann
> ein primitives Element fuer [mm]L/K[/mm], wenn [mm]L = K(\alpha)[/mm] ist.
>
> > Ich hätte jetzt gesagt,
> > dass man einfach die Anzahl der primitivwurzeln der
> > Galoisgruppe bestimmt. Demnach wäre das
> > [mm]\varphi(\varphi(3))=1.[/mm] Ist das so richtig?
>
> Das hat nichts, aber auch gar nichts damit zu tun.
>
> Ein Element aus [mm]L[/mm] ist primitives Element von [mm]L/K[/mm], wenn es
> in keinem echten Zwischenkoerper (also ein Koerper [mm]M[/mm] mit [mm]K \subseteq M \subsetneqq L[/mm])
> liegt.
>
> Weche Zwischenkoerper kennst du von [mm]\IF_{p^8} / \IF_p[/mm]? Was
> kannst du ueber ihre "kombinatorische" Struktur aussagen im
> Sinne von: sind sie ineinander enthalten? Was sind die
> Schnitte? ...?
Hier war [mm]\IF_{p^3} / \IF_p[/mm] gemeint, also der Körper mit [mm] p^3 [/mm] Elementen. Nun ist es doch aber gerade so, dass es hier keinen echten Zwischenkörper gibt, sondern eben nur [mm]\IF_{p^3} / \IF_p[/mm] und [mm]\IF_{p} / \IF_p[/mm]. Der Schnitt [mm]\IF_{p^3} \cap \IF_p[/mm]
müsste doch aus [mm] p^3-p [/mm] Elementen bestehen oder? Schließlich ist der Körper [mm]\IF_{p^3}[/mm] eine Teilmenge von [mm]\IF_p[/mm].
Aber ist das dann auch bereits die Anzahl der primitiven Elemente? Ich weiß doch nicht unbedingt, ob eines dieser Elemente dann unbedingt den ganzen Körper erzeugt.
>
> > Leider habe ich keine Idee, wie man die Anzahl der
> > normierten und irreduziblen Polynome vom Grad 3 bestimmen
> > kann.
>
> Zu jedem normierten irreduziblen Polynom von Grad 3
> gehoeren genau drei Elemente von [mm]\IF_{p^3}[/mm], welche nicht in
> [mm]\IF_p[/mm] liegen. Damit kannst du die Anzahl sofort
> ausrechnen.
Wieso kommst du denn überhaupt hier auf [mm]\IF_{p^3} [/mm]?
Was bedeutet denn die Aussage, dass zu einem Polynom ein Element von [mm]\IF_{p^3} [/mm] gehört? Dass das das Minimalpolynom dieses Elements ist?
>
> > Ich befürchte aber, dass es nur ein Polynom gibt, dass
> > normiert und irreduzibel zugleich ist (mal so ganz ohne
> > Begründung, also geraten).
>
> Das ist Quark.
>
> > Zunächst mal sage ich, dass [mm](X^{5}+X^{2}+1)[/mm] irreduzibel
> > ist,
>
> Du bist also bei Aufgabenteil 5? Es wuerd das ganze etwas
> lesbarer machen, wenn du sowas erwaehnst.
>
> > das Ding also ein Körper ist. Sogar “der” Körper
> > mit 32 Elementen. Die Frage ist nur, wie ich da an einen
> > Erzeuger komme. Die multiplikative Gruppe enthält doch
> > alle Elemente, bis auf 0, also insgesamt 31. Das mit dem
> > Erzeuger bekomme ich trotzdem nicht hin.
>
> Denk mal ein wenig nach. Ein Erzeuger hat Ordnung 31.
> Welche Ordnungen koennen Elemente in einer zyklischen
> Gruppe von Ordnung 31 haben?
>
> LG Felix
>
Okay mir war schon klar, dass alle Körperelemente außer 0 und 1 die multiplikative Gruppe erzeugen, aber ich dachte man sollte das hier irgendwie explizit angeben, also irgendwie wenn man den Körper als Vektorraum von irgendwas interpretiert oder so.
Reicht es dann einfach aus genau das zu schreiben, dass jedes Element aus der multiplikativen Gruppe, außer 1, diese auch vollständig erzeugt?
Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 03:01 Di 05.10.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > > Mit den primitiven Elementen kenne ich mich nicht aus, bzw.
> > > habe darüber noch nichts gehört.
> >
> > Ist [mm]L/ K[/mm] eine Koerpererweiterung, so ist [mm]\alpha[/mm] genau dann
> > ein primitives Element fuer [mm]L/K[/mm], wenn [mm]L = K(\alpha)[/mm] ist.
> >
> > > Ich hätte jetzt gesagt,
> > > dass man einfach die Anzahl der primitivwurzeln der
> > > Galoisgruppe bestimmt. Demnach wäre das
> > > [mm]\varphi(\varphi(3))=1.[/mm] Ist das so richtig?
> >
> > Das hat nichts, aber auch gar nichts damit zu tun.
> >
> > Ein Element aus [mm]L[/mm] ist primitives Element von [mm]L/K[/mm], wenn es
> > in keinem echten Zwischenkoerper (also ein Koerper [mm]M[/mm] mit [mm]K \subseteq M \subsetneqq L[/mm])
> > liegt.
> >
> > Weche Zwischenkoerper kennst du von [mm]\IF_{p^8} / \IF_p[/mm]? Was
> > kannst du ueber ihre "kombinatorische" Struktur aussagen im
> > Sinne von: sind sie ineinander enthalten? Was sind die
> > Schnitte? ...?
>
> Hier war [mm]\IF_{p^3} / \IF_p[/mm] gemeint, also der Körper mit
> [mm]p^3[/mm] Elementen. Nun ist es doch aber gerade so, dass es hier
> keinen echten Zwischenkörper gibt, sondern eben nur
> [mm]\IF_{p^3} / \IF_p[/mm] und [mm]\IF_{p} / \IF_p[/mm].
Genau.
> Der Schnitt [mm]\IF_{p^3} \cap \IF_p[/mm]
> müsste doch aus [mm]p^3-p[/mm] Elementen bestehen oder?
Nein, der Schnitt ist gleich [mm] $\IF_p$ [/mm] selber und hat somit $p$ Elemente.
> Schließlich ist der Körper [mm]\IF_{p^3}[/mm] eine Teilmenge von
> [mm]\IF_p[/mm].
Umgekehrt! [mm] $\IF_p$ [/mm] ist eine Teilmenge von [mm] $\IF_{p^3}$!
[/mm]
> Aber ist das dann auch bereits die Anzahl der primitiven
> Elemente? Ich weiß doch nicht unbedingt, ob eines dieser
> Elemente dann unbedingt den ganzen Körper erzeugt.
Nun, [mm] $p^3 [/mm] - p$ ist tatsaechlich die Anzahl der primitiven Elemente.
Und dass jedes dieser Elemente tatsaechlich [mm] $\IF_{p^3}$ [/mm] erzeugt folgt aus dem Multiplikationssatz fuer Koerpergrade. (Was fuer Werte sind fuer [mm] $[\IF_p(\alpha) [/mm] : [mm] \IF_p]$ [/mm] moeglich?)
> > > Leider habe ich keine Idee, wie man die Anzahl der
> > > normierten und irreduziblen Polynome vom Grad 3 bestimmen
> > > kann.
> >
> > Zu jedem normierten irreduziblen Polynom von Grad 3
> > gehoeren genau drei Elemente von [mm]\IF_{p^3}[/mm], welche nicht in
> > [mm]\IF_p[/mm] liegen. Damit kannst du die Anzahl sofort
> > ausrechnen.
>
> Wieso kommst du denn überhaupt hier auf [mm]\IF_{p^3} [/mm]?
Weil es um irreduzible Polynome von Grad 3 geht? Ist $f [mm] \in \IF_p[x]$ [/mm] ein solches Polynom, so ist [mm] $\IF_p[x]/(f) \cong \IF_{p^3}$.
[/mm]
> Was bedeutet denn die Aussage, dass zu einem Polynom ein
> Element von [mm]\IF_{p^3}[/mm] gehört?
Drei Elemente! Nicht eins!
> Dass das das Minimalpolynom
> dieses Elements ist?
Dieser drei Elemente, ja.
> > > Ich befürchte aber, dass es nur ein Polynom gibt, dass
> > > normiert und irreduzibel zugleich ist (mal so ganz ohne
> > > Begründung, also geraten).
> >
> > Das ist Quark.
> >
> > > Zunächst mal sage ich, dass [mm](X^{5}+X^{2}+1)[/mm] irreduzibel
> > > ist,
> >
> > Du bist also bei Aufgabenteil 5? Es wuerd das ganze etwas
> > lesbarer machen, wenn du sowas erwaehnst.
> >
> > > das Ding also ein Körper ist. Sogar “der” Körper
> > > mit 32 Elementen. Die Frage ist nur, wie ich da an einen
> > > Erzeuger komme. Die multiplikative Gruppe enthält doch
> > > alle Elemente, bis auf 0, also insgesamt 31. Das mit dem
> > > Erzeuger bekomme ich trotzdem nicht hin.
> >
> > Denk mal ein wenig nach. Ein Erzeuger hat Ordnung 31.
> > Welche Ordnungen koennen Elemente in einer zyklischen
> > Gruppe von Ordnung 31 haben?
>
> Okay mir war schon klar, dass alle Körperelemente außer 0
> und 1 die multiplikative Gruppe erzeugen, aber ich dachte
> man sollte das hier irgendwie explizit angeben, also
> irgendwie wenn man den Körper als Vektorraum von irgendwas
> interpretiert oder so.
Dann gib doch einfach ein Element [mm] $\neq [/mm] 0, 1$ an!
> Reicht es dann einfach aus genau das zu schreiben, dass
> jedes Element aus der multiplikativen Gruppe, außer 1,
> diese auch vollständig erzeugt?
Ja, und am besten gibst du auch noch eins an.
LG Felix
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