endliche Körper und Mächtigkei < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:42 So 04.11.2007 | | Autor: | Kari |
| Aufgabe | Es sei K ein endlicher Körper mit 2 [mm] \not= [/mm] 0, d.h. |K|=q=2n+1 mit [mm] n\in \IN [/mm] und K kommutativ
a) Für P:= { [mm] \lambda^{2} [/mm] | [mm] \lambda\in [/mm] K* } gilt |P| =n. |
Hallöchen!
Die obige Behauptung soll ich irgendwie beweisen. Ich weiß, dass die Mächtigkeit von Quadratmengen immer die Hälfte der ursprünglichen Menge ist, weil ja die "negativen" Zahlen herausfallen. Ich habe bloß überhaupt keine Ahnung, wie ich an so eine Aufgabe herangehen kann und wie ich sie beweisen kann.
Es wäre super, wenn ihr mir einen Tip geben könntet :)
Danke im Voraus
LG Kari
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:37 So 04.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
1.|K|=2n+1 heisst ich habe 2n von 0 verschiedene Elemente. Die tile ich in Paare , [mm] a,\overline{a} [/mm] mit [mm] a+\overline{a}=0 [/mm] also [mm] a^2=\overline{a}^2, [/mm] davon gibt es genau n. damit hast du n Quadratzahlen, nun bleibt zu zeigen, dass die alle verschiden sind. Dazu benutzt du, dass ein Qu. Polynom [mm] x^2+b=0 [/mm] einduetig in Linearfaktoren zerfällt, [mm] (x-a)*(x-\overline{a})=0
[/mm]
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:51 So 04.11.2007 | | Autor: | Kari |
Hallo leduart!
Vielen Dank für Deine schnelle Hilfe. Das hat mir sehr geholfen. Linearfaktoren kenne ich Gott sei Dank noch :)
Wünsche Dir einen schönen Sonntagnachmittag!
LG Kari
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