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| Aufgabe | Sei a [mm] \in \IC [/mm] \ [mm] \IQ [/mm] und die Körpererweiterung von [mm] [\IQ(a) :\IQ ]=2n_{0}+1 [/mm] für ein n [mm] \in \IN
[/mm]
so gilt :
[mm] \IQ(a^2) =\IQ(a) [/mm] |
Sooo ich weiß es gilt [mm] \IQ(a^2)\subseteq \IQ(a) [/mm]
und wenn ich noch zeigen kann dass [mm] [\IQ(a^2): \IQ] =2n_{0}+1 [/mm] dann folgt die Behauptung,
Nun aber ist das Minimalpolynom von a nicht weiter als [mm] x^{2n+1}-a^{2n+1}=0,folgt [/mm] aus der Körpererweiterung
Wie komme ich aber dann auf das Minimalpolynom von [mm] a^2 [/mm] ??
ich hoffe ihr könnt mir helfen
LG ismail
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moin,
zuerst: wie kommst du auf das Minimalpolynom [mm] $x^{2n-1}-a$ [/mm] ?
Wenn $a [mm] \not\in \IQ$, [/mm] ist das doch kein rationales Polynom?
Für den Beweis:
Du hast die Kette von Körpererweiterungen
[mm] $\IQ [/mm] | [mm] \IQ(a^2) [/mm] | [mm] \IQ(a)$
[/mm]
Um zu zeigen, dass [mm] $\IQ(a) [/mm] = [mm] \IQ(a^2)$ [/mm] ist, reicht es zu zeigen, dass [mm] $[\IQ(a) [/mm] : [mm] \IQ(a^2)] [/mm] = 1$.
Nun kannst du ein sehr schönes Polynom in [mm] $\IQ(a^2)[x]$ [/mm] angeben, das sicher $a$ als Nullstelle hat (und keinen zu hohen Grad).
Wendest du dann auf obige Kette von Erweiterungskörpern den Gradsatz an, erhältst du die gewünschte Aussage.
lg
Schadow
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sorry ja ich meinte x^(2n+1)-a^(2n+1)=0
ok du meinst ich soll ein Polynom über [mm] \IQ (a^2) [/mm] angeben sodass a alst NST hat.
[mm] x^2-a^2=0 [/mm] x=a nst dies wäre auch das Minimalpolynom da [mm] x^2-a^2=(x-a)(x+a) [/mm] => deg 2 somit ist[ [mm] \IQ [/mm] (a) : [mm] \IQ (a^2) [/mm] ]= 2
????
ich bin doch nicht weitgekommen durch dein Tipp Shadow
LG
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Fast.
[mm] $x^2-a^2$ [/mm] ist ein Polynom in [mm] $\IQ(a^2)[x]$, [/mm] das $a$ als Nullstelle hat, ja.
Aber ist es wirklich das Minimalpolynom?
Überleg dir genau, was du hieraus für $k := [mm] [\IQ(a) [/mm] : [mm] \IQ(a^2)]$ [/mm] folgern kannst und was nicht.
Wenn du das hast verwende den Gradsatz, dieser wird dir dann $k=1$ liefern.
Du kennst den Gradsatz, oder?
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es folgt auf jeden fall dass k,m ungerade sein müssen :
k=Q(a): [mm] Q(a^2) [/mm] ,
[mm] m=Q(a^2):Q [/mm]
2n+1=k*m
beide müssen ungerade sein ,(das ist klar)
um k zu folgern müss ich m wissen ,
würde mich echt freuen wenn du mir das Minimalpolynom sagen würdest ,denn morgen ist Klausur :) und ehrlich gesagt habe ich die nerven für heute nicht mehr :)
LG decehakan
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Du willst zeigen, dass $a [mm] \in \IQ(a^2)$. [/mm] Damit muss das Minimalpolynom natürlich $x-a$ sein, aber dafür musst du eben erst die Gleichheit der beiden Körper zeigen.
Da [mm] $x^2-a^2$ [/mm] ein Polynom ist, das $a$ als Nullstelle hat, folgt, dass dies ein Vielfaches des Minimalpolynoms sein muss.
Insbesondere muss das Minimalpolynom einen Grad [mm] $\leq [/mm] 2$ haben.
Grad gleich 2 ist ausgeschlossen, weil der Grad ungerade sein muss.
Also bleibt einzig Grad 1.
Da das Minimalpolynom immer normiert ist, folgt also, dass es $x-a$ ist; damit ist insbesondere $a [mm] \in \IQ(a^2)$.
[/mm]
Viel Glück morgen.
lg
Schadow
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Bei deinem Beweis hat du schon bereits vorausgesetzt dass x-a dass minimalpolynom ist und ich hab ehrlich gesagt auch nicht verstanden ,du hast mich überzeugt dass das Minimalpolynom nicht grad 2 hat ,aber das heißt noch lange nicht dass es gleich 1 sein muss.aus dem Körpergrad kann es so eben folgen dass k=3,5,7 usw sein kann...
Naja , ich hab ein beweis mir überlegt,vielleicht kannst du mir sagen ob der ok ist
es gilt ja dass : [Q(a) :Q]=2n+1 => [mm] x^{2n+1}-a^{2n+1}=0 [/mm] minimalpolynom => [mm] a^{2n+1} \in \IQ [/mm] dann betrachte ich [mm] a^2 [/mm] und potenziere es mit n+1 => [mm] (a^2)^{n+1} =a^{2n+2}=a^{2n+1}*a^{1} [/mm] per Definition ist dann
[mm] a^{2n+1}*a^{1} [/mm] Element in [mm] \IQ(a^2) [/mm] da [mm] a^{2n+1} \in \IQ [/mm] nachdem teilen von [mm] a^{2n+1} [/mm] ist a [mm] \in \IQ(a^2)
[/mm]
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Dein Beweis klappt leider nicht so.
Das Minimalpolynom muss doch nicht die Form [mm] $x^m [/mm] - b$ für ein $b [mm] \in \IQ$ [/mm] haben, du kennst doch sicher Elemente, die andere Minimalpolyome haben (zB [mm] $x^4+x^3+x^2+x+1 \in \IQ[x]$ [/mm] ist irreduzibel und damit Minimalpolynom all seiner Nullstellen).
Zum Beweis musst du dir zuerst mal eine Tatsache klar machen:
Sind $K [mm] \subseteq [/mm] L$ Körper, [mm] $\alpha \in [/mm] L$ algebraisch über $K$ mit Minimalpolynom [mm] $\mu \in [/mm] K[x]$ und $f [mm] \in [/mm] K[x]$ mit [mm] $f(\alpha) [/mm] = 0$. Dann gilt [mm] $\mu [/mm] | f$.
In diesem speziellen Fall haben wir das Polynom $f = [mm] x^2-a^2 \in \IQ(a^2)[x]$, [/mm] das $f(a) = 0$ erfüllt.
Ist nun [mm] $\mu_a \in \IQ(a^2)[x]$ [/mm] das Minimalpolynom von $a$, so folgt also [mm] $\mu_a \mid [/mm] f$.
Damit ist insbesondere [mm] $grad(\mu_a) [/mm] = 1$ oder [mm] $grad(\mu_a) [/mm] = 2$.
Den zweiten Fall können wir mit dem Gradsatz ausschließen, sodass [mm] $grad(\mu_a) [/mm] = 1$ folgt. Damit ist [mm] $\IQ(a) [/mm] = [mm] \IQ(a^2)$ [/mm] und JETZT können wir [mm] $\mu_a$ [/mm] auch wirklich als $x-a$ angeben.
lg
Schadow
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:35 Mi 13.02.2013 | | Autor: | Decehakan |
Das war ein sauberer Beweis danke ,das hat mir echt gut getan 
(ich wusste dass mein Minimalpolynom nicht so ganz korrekt war :D )
LG decehakan
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