endliche Körpererweiterung zei < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei [mm] \mathbb{Q}(T) [/mm] ={f/g, f,g [mm] 2\in\mathbb{Q}[T],g\neq [/mm] 0}
der Quotientenkörper des Polynomringes [mm] \mathbb{Q[}T] [/mm] mit der Unbestimmten T. Sei [mm] L=\mathbb{Q}(T) [/mm] und K = [mm] \mathbb{Q}(T^3)\leq [/mm] L der durch Adjunktion von [mm] T^3 [/mm] erzeugte Teilkörper.
Zeigen Sie:
a.) L/K ist eine endliche Erweiterung
b.) Bestimmen Sie das Minimalpolynom von 1+T [mm] \in [/mm] L über K. |
Lieber Matheraum,
nun, ich scheitere an Punkt a. Meine Vermutung ist es, dass [mm] {1,T,T^{2}} [/mm] eine Basis für L über K darstellt, allerdings habe ich ein Problem, dies zu zeigen. In K sind die Elemente ja [mm] 1,T^{3}, T^{6}, \frac{1}{t^{3}}, \frac{1}{t^{6}},..., [/mm] , sowie alle Linearkombinationen mit Koeffizienten aus [mm] \mathbb{Q} [/mm] davon.
Nun weiß ich aber nicht, wie ich ein Polynom wie [mm] \frac{1}{T^{2}-1}\in [/mm] L damit "erzeugen" kann. Ich hab mir schon überlegt, dass ich die Nenner der Polynome in L immer in Linearfaktoren zerlege, habe aber dann das Problem, dass die Linearfaktoren ja nicht aus Elementen aus [mm] \mathbb{Q} [/mm] bestehen müssen..
Eine "bessere" endliche Basis fällt mir auch nicht ein..
Kann mir irgendjemand dabei helfen?
Ich bedanke mich schon mal,
lg Kaffeetrinker
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:36 Sa 27.10.2012 | | Autor: | teo |
Hallo,
dir ist klar, dass [mm] $\IQ(T^3) \subseteq \IQ(T)$ [/mm] gilt. Was du zeigen willst ist doch, dass [mm] $[\IQ(T):\IQ(T^3)] [/mm] = 3$ ist. Wie schaut denn das Minimalpolynom von T in [mm] $\IQ(T^3)[x]$ [/mm] aus?
Grüße
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Vielen Dank für deine Antwort!
Das Minimalpolynom ist [mm] X^{3}-T^{3}, [/mm] hat also Grad 3.
Nun meine Frage: inwiefern hilft mir das? [mm] \mathbb{Q}(T) [/mm] ist ja nicht der von [mm] \mathbb{Q} [/mm] und T erzeugte Körper, sondern ein Quotientenkörper. Oder gibt es da etwas, was ich übersehe?
lg Kaffeetrinker
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:30 Sa 27.10.2012 | | Autor: | teo |
[mm] \IQ(T) [/mm] ist der Körper [mm] \IQ [/mm] zu dem du T einfach noch adjungierst (dazunimmst). Sei $f = [mm] x^3 [/mm] - [mm] T^3$ [/mm] dann gilt offensichtlich $f [mm] \in \IQ(T^3)[x]$ [/mm] wobei dies der Polynomring mit Koeffizienten in [mm] \IQ(T^3) [/mm] ist. Nun musst du noch zeigen, dass f das Minimalpolynom von T über [mm] \IQ(T^3) [/mm] ist! Dann gilt doch, wegen [mm] $\IQ(T^3) \subseteq \IQ(T)$, [/mm] und $[ [mm] \IQ(T): \IQ(T^3)] [/mm] = deg(f) =3$, dass die Körpererweiterung vom Grad 3 ist und somit insbesondere endlich! Daraus folgt nun, dass [mm] $\{1, T,T^ 2\} [/mm] $eine [mm] \IQ(T^3)- [/mm] Basis von [mm] \IQ(T) [/mm] ist!
Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:55 Sa 27.10.2012 | | Autor: | teo |
Hallo, du musst auch noch zeigen, dass $T [mm] \notin \IQ(T)$ [/mm] ist, um damit folgern zu können, dass $[ [mm] \IQ(T): \IQ(T^3)] [/mm] > 1$ ist! Erst dann kommt das Minimalpolynom...
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Vielen Dank für diese äußerst schnelle und kompetente Antwort!
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