matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenStochastikendliche Markov-Kette
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Informatik • Physik • Technik • Biologie • Chemie
Forum "Stochastik" - endliche Markov-Kette
endliche Markov-Kette < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Stochastik"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

endliche Markov-Kette: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:16 So 25.10.2020
Autor: sync

Hallo zusammen

Ich habe eine Frage zur folgenden Aufgabe. Sei [mm]S= \{0,\dots,n\} [/mm] die Zustände mit Wechselwahrscheinlichkeiten [mm]p_{i,i+1}=p,p_{i,i-1}=q, 1\le i\le n-1[/mm] mit [mm]p+q=1 , 0
Dazu nun einige Fragen:

1. Ist diese Markov Kette Irreduziebel?

Ich würde nein sagen, da wenn ich in [mm]n[/mm] bin nicht mehr andere Zustände erreichen kann. Ebenso hat diese Kette zwei Kommunikationsklassen

2. Welche Perioden haben die Kommunikationsklassen.

Hier bin ich schon etwas unsicher. Klar ist, dass der Zustan [mm]n[/mm] aperiodisch ist, also Periode [mm]1[/mm] hat. Aber die anderen Zustände sind ja transient. Kann man für diese Periodizität überhaupt definieren?

3. Finde die stationäre Verteilung

Für dies habe ich folgende Rekursion aufgeschrieben

[mm]\pi_0 = (1-p)\pi_1[/mm]
[mm]\pi_1 = \pi_0 + (1-p)\pi_2[/mm]
[mm]\pi_i = q\pi_{i+1}+p\pi_{i-1}, 2\le i \le n-1[/mm]
[mm]\sum_i\pi_i = 1[/mm]
Wie kann ich diese Gleichungen lösen? Wäre super, wenn ihr mir sagt, ob ich richtig liege mit 1 und 2, resp ob man Periodizität auch auf transiente Zustände ausweiten kann. Hilfe bei 3 wäre super :)

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


        
Bezug
endliche Markov-Kette: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:43 Fr 30.10.2020
Autor: meili

Hallo sync,

> Hallo zusammen
>  
> Ich habe eine Frage zur folgenden Aufgabe. Sei [mm]S= \{0,\dots,n\}[/mm]
> die Zustände mit Wechselwahrscheinlichkeiten
> [mm]p_{i,i+1}=p,p_{i,i-1}=q, 1\le i\le n-1[/mm] mit [mm]p+q=1 , 0
> Zudem nehmen wir an, dass [mm]p_{0,1}=1,p_{N,N}=1 [/mm].
>  
> Dazu nun einige Fragen:
>  
> 1. Ist diese Markov Kette Irreduziebel?
>
> Ich würde nein sagen, da wenn ich in [mm]n[/mm] bin nicht mehr
> andere Zustände erreichen kann. Ebenso hat diese Kette
> zwei Kommunikationsklassen

[ok]

>  
> 2. Welche Perioden haben die Kommunikationsklassen.
>  
> Hier bin ich schon etwas unsicher. Klar ist, dass der
> Zustan [mm]n[/mm] aperiodisch ist, also Periode [mm]1[/mm] hat. Aber die

[ok]

> anderen Zustände sind ja transient. Kann man für diese
> Periodizität überhaupt definieren?

Ja, da sie transient sind, haben alle dieselbe Periode.
Vom Zustand i, $0 [mm] \le [/mm] i < n$ dauert es minimal 2 Zeiteinheiten bis i wieder erreicht ist,
deshalb ist die Periode in dieser Kommunikationsklasse 2.

>  
> 3. Finde die stationäre Verteilung
>  
> Für dies habe ich folgende Rekursion aufgeschrieben
>  
> [mm]\pi_0 = (1-p)\pi_1[/mm]
>  [mm]\pi_1 = \pi_0 + (1-p)\pi_2[/mm]
>  [mm]\pi_i = q\pi_{i+1}+p\pi_{i-1}, 2\le i \le n-1[/mm]
>  
> [mm]\sum_i\pi_i = 1[/mm]
>  Wie kann ich diese Gleichungen lösen?

Wegen [mm] $p_{0,1}=1$ [/mm] ist auch [mm] $\pi_1 [/mm] = [mm] \pi_0$. [/mm]

Die nächste Zeile ist: [mm] $\pi_0*p_{1,0}+\pi_2*p_{1,2} [/mm] = [mm] \pi_1$. [/mm]
Mit [mm] $p_{1,0}+p_{1,2} [/mm] = 1$:  [mm] $\pi_0*(1-p_{1,2})+\pi_2*p_{1,2} [/mm] = [mm] \pi_1$. [/mm]
Und mit [mm] $\pi_1 [/mm] = [mm] \pi_0$ [/mm] folgt [mm] $\pi_2 [/mm] = [mm] \pi_0$. [/mm]

[mm]\pi_i = p_{i, i+1}*\pi_{i+1}+(1-p_{i, i+1})*\pi_{i-1}, \qquad 2\le i < n[/mm]
Damit folgt [mm] $\pi_i [/mm] = [mm] \pi_0, \qquad 2\le [/mm] i [mm] \le [/mm] n$

Und als letzte Zeile: [mm] $\pi_n [/mm] = [mm] \pi_n$ [/mm]

Mit  [mm]\sum_{i=0}^n\pi_i = 1[/mm] folgt [mm] $\pi_i [/mm] = [mm] \bruch{1}{1+n}, \qquad [/mm] 0 [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] n$

> Wäre super, wenn ihr mir sagt, ob ich richtig liege mit 1
> und 2, resp ob man Periodizität auch auf transiente
> Zustände ausweiten kann. Hilfe bei 3 wäre super :)
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  

Gruß
meili

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Stochastik"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]