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| Aufgabe | Seien [mm] (E_i [/mm] , [mm] d_i [/mm] ) , metrische Räume mit zugehöriger [mm] $Borel-\sigma [/mm] -Algebra$ [mm] B(E_i) [/mm] , i = 1,2. Der Produktraum [mm] E:=E_1 \times E_2 [/mm] wird zu einem metrischen Raum durch die Wahl einer Produktmetrik.
z.B. : [mm] d((x_1,x_2), (y_1,y_2)):= d_1(x_1,y_1)+d_2(x_2,y_2)
[/mm]
Weiterin bezeichen B(E) die zu dieser Topologie(induzierte) gehörende [mm] $Borel-\sigma [/mm] -Algebra$.
ZZ:
a) Stets gilt [mm] B(E_1) \otimes B(E_2) \subseteq [/mm] B(E)
b) Sind [mm] E_1 [/mm] und [mm] E_2 [/mm] separabel, so gilt
[mm] B(E_1) \otimes B(E_2) [/mm] = B(E) |
Ich sitze gerade an dieser Aufgabe und habe ein Verständnisproblem bezüglich der Produkt [mm] \sigma-Algebra.
[/mm]
[mm] A_1 \otimes A_2 [/mm] := [mm] \sigma (\pi_i [/mm] : i=1,2) so haben wir die Produkt [mm] \sigma [/mm] -Algebra definiert. Dabei bezeichnet [mm] \pi_i [/mm] die i-te Koordinatenprojektion.
( [mm] \pi_1 [/mm] : [mm] (\omega_1 [/mm] , [mm] \omega_2) \mapsto \omega_1 [/mm] )
Wie ist der Ausdruck [mm] \sigma [/mm] ( [mm] \pi_1, \pi_2) [/mm] zu verstehen?
Der ausdruck mit eine Funktion [mm] \sigma(\pi_1) [/mm] mir bekannt, [mm] \sigma(\pi_1) [/mm] = [mm] \{\pi_1^{-1}(C) : C \in B(E_1)\} [/mm] mit [mm] B(E_1) [/mm] = [mm] \sigma(T_1), [/mm] dabei ist [mm] T_1 [/mm] die von [mm] d_1 [/mm] induzierte Topologie auf [mm] E_1.
[/mm]
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Hi,
sind [mm] $(X_1,\mathscr{M}_{X_1})$ [/mm] und [mm] $(X_2,\mathscr{M}_{X_2})$ [/mm] zwei Messräume und [mm] $X_1 \times X_2$ [/mm] das kartesische Produkt von [mm] $X_1,X_2$ [/mm] so gilt
$ [mm] \mathscr{M}_{X_1\times X_2} [/mm] = [mm] \mathscr{M}_{X_1} \otimes \mathscr{M}_{X_2} [/mm] = [mm] \sigma\left(\{ \pi_1^{-1}(A), \pi_2^{-1}(B) \mid A \in \mathscr{M}_{X_1}, B \in \mathscr{M}_{X_2}\}\right) [/mm] $
Wegen $ [mm] \pi_1^{-1}(A) [/mm] = A [mm] \times [/mm] Y $ und $ [mm] \pi_2^{-1}(B) [/mm] = [mm] X\times [/mm] B $ gilt somit
$ [mm] \mathscr{M}_{X_1\times X_2} [/mm] = [mm] \mathscr{M}_{X_1} \otimes \mathscr{M}_{X_2} [/mm] = [mm] \sigma\left(\{ A\times X_2, X_1\times B \mid A \in \mathscr{M}_{X_1}, B \in \mathscr{M}_{X_2}\}\right)$
[/mm]
hilft dir das?
LG,
ChopSuey
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Danke für die schnelle Antwort!
verstehe ich die Mengenklammer richtig?
$ [mm] \{ \pi_1^{-1}(A), \pi_2^{-1}(B) \mid A \in \mathscr{M}_{X_1}, B \in \mathscr{M}_{X_2}\} [/mm] = [mm] \{ \pi_1^{-1}(A) \mid A \in \mathscr{M}_{X_1}\} \cup \{ \pi_2^{-1}(B) \mid B \in \mathscr{M}_{X_2}\} [/mm] $
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Hi,
> Danke für die schnelle Antwort!
> verstehe ich die Mengenklammer richtig?
> [mm]\{ \pi_1^{-1}(A), \pi_2^{-1}(B) \mid A \in \mathscr{M}_{X_1}, B \in \mathscr{M}_{X_2}\} = \{ \pi_1^{-1}(A) \mid A \in \mathscr{M}_{X_1}\} \cup \{ \pi_2^{-1}(B) \mid B \in \mathscr{M}_{X_2}\}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Ja.
Es ist $\{\pi_1^{-1}(A), \pi_2^{-1}(B) } \mid A \in \mathscr{M}_{X_1}, B \in \mathscr{M}_{X_2}\} = \{ \pi_1^{-1}(A) \cup \pi_2^{-1}(B) \mid A \in \mathscr{M}_{X_1}, B \in \mathscr{M}_{X_2}\}$
LG,
ChopSuey
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