endliche abelsche Gruppe < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:27 So 07.12.2014 | | Autor: | YuSul |
| Aufgabe | Gegeben seien endliche abelsche Gruppen G und H. Zeigen Sie: Wenn für jedes [mm] $k\in\mathbb{N}$ [/mm] gilt
[mm] $|\{g \in G | ord(g) = k\}|= |\{h\in H | ord(h) = k\}|$ [/mm] ,
dann gilt:
$G [mm] \cong [/mm] H$. |
Hi,
ich hätte noch einmal eine Frage zu endlichen abelschen Gruppen.
Also der Hauptsatz über endliche abelsche Gruppen scheidet fürs erste schon mal aus.
Am Anfang war mir auch noch unklar, warum diese Mengen endlich sind, wenn für JEDES k aus den natürlichen Zahlen dies gelten soll. Aber es kann ja auch einfach kein Element aus beiden Gruppen geben die dann zum Beispiel die Ordnung 1000 haben.
Also $ord(g)=ord(h)=k$ gilt nur für endlich viele [mm] $k\in\mathbb{N}$
[/mm]
Aus
[mm] $|\{g \in G | ord(g) = k\}|= |\{h\in H | ord(h) = k\}|$
[/mm]
ist ja nicht klar, dass [mm] $|G|=|H|<\infty$ [/mm] ist. Dann gäbe es ja eine bijektive Abbildung zwischen den beiden Mengen, die man angeben könnte.
Aber wenn ich zeigen kann, dass die Kardinalität der beiden Mengen gleich ist, wäre ich fertig, richtig?
Mein erster Ansatz wäre es ich schaue mir jeweils die Erzeugnisse [mm] $\langle g\rangle$ [/mm] bzw. [mm] $\langle h\rangle$ [/mm] der Elemente, mit der Eigenschaft, dass ord(g)=ord(h)=k ist, an.
Könnte das was bringen?
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Hi,
> Also der Hauptsatz über endliche abelsche Gruppen
> scheidet fürs erste schon mal aus.
Warum das? Ich sehe im Moment keinen schönen Weg es ohne den Hauptsatz zu machen...
> Aber wenn ich zeigen kann, dass die Kardinalität der
> beiden Mengen gleich ist, wäre ich fertig, richtig?
Nein. Du sollst zeigen, dass die Gruppen isomorph sind. Dafür muss ein Isomorphismus existieren, nicht nur eine Bijektion. Als Beispiel:
[mm] $\IZ_2 \times \IZ_2$ [/mm] und [mm] $\IZ_4$ [/mm] haben beide vier Elemente, sind aber nicht isomorph.
Also erzähl zuerst mal, warum du den Hauptsatz nicht verwenden möchtest.
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:20 So 07.12.2014 | | Autor: | YuSul |
Ich dachte der Hauptsatz würde erstmal ausscheiden, weil ich keine Möglichkeit gesehen habe Primzahlpotenzen ins Spiel zu bringen.
Da hätte ich auch bis jetzt keine Idee.
Edit: Also um den Hauptsatz anzuwenden muss ich ja zeigen, dass die Kardinalität von G und H ein Produkt von Primzahlpotenzen ist. Da habe ich gedacht es wäre allgemein nicht möglich zu sagen, dass dies gilt
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> Edit: Also um den Hauptsatz anzuwenden muss ich ja zeigen,
> dass die Kardinalität von G und H ein Produkt von
> Primzahlpotenzen ist. Da habe ich gedacht es wäre
> allgemein nicht möglich zu sagen, dass dies gilt
$G$ und $H$ sind endliche Gruppen. So lange sie also mehr als ein Element haben, sind ihre Kardinalitäten natürlich Produkte von Primzahlpotenzen (Stichwort: Primfaktorzerlegung).
Ich würde an deiner Stelle so anfangen:
Da $G$ und $H$ endliche abelsche Gruppen sind, existieren nach dem Hauptsatz Primzahlpotenzen, sodass
$G [mm] \cong \IZ_{p_1^{a_1}} \times \ldots \times \IZ_{p_n^{a_n}}$ [/mm] und $H [mm] \cong \IZ_{q_1^{b_1}} \times \ldots \times \IZ_{q_m^{b_m}}$.
[/mm]
Jetzt benutze die Ordnungen um festzustellen, dass alle Primzahlpotenzen übereinstimmen; zB besitzt $G$ sicherlich ein Element der Ordnung [mm] $p_1^{a_1}$.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:15 So 07.12.2014 | | Autor: | YuSul |
Ach, du hast natürlich recht...
Ich hatte mich wohl irgendwie dadurch verwirren lassen, dass nicht jede Zahl eine Primzahlpotenz ist. Zum Beispiel die 6 (in dem Sinne, dass es keine Primzahl p gibt mit [mm] $p^n=6$), [/mm] aber das kann ich ja einfach schreiben als [mm] $2^1\cdot 3^1$
[/mm]
Ok, dann betrachte ich nun Elemente mit der Ordnung [mm] $k_i$. [/mm] Nach Voraussetzung gibt es in G genau so viele Gruppenelemente mit der Ordnung [mm] $k_i$ [/mm] wie in $H$. Sei nun [mm] $g_i\in [/mm] G$ und [mm] $h_i\in [/mm] H$ eben ein Gruppenelement mit
[mm] $ord(g_i)=k_i=ord(h_i)$
[/mm]
Nun würde ich jeweils die Erzeugnisse davon betrachten, also [mm] $\langle g_i\rangle=\{e, g_i, g_{i}^2, ..., g_{i}^{k_{i}-1}\}$
[/mm]
Analog für [mm] $h_i$. [/mm]
Dies ist dann Isomorph zu [mm] $\mathbb{Z}/k_i$. [/mm] Richtig?
Dies kann ich für alle verschiedenen [mm] $k_i$ [/mm] tun.
Jetzt stellen sich mir zwei Probleme.
Edit: Problem 1 ist natürlich Quatsch. Klar kann es mehrere solcher Gruppenelemente geben, aber das ist kein wirkliches Problem.
1. Es kann ja passieren, dass es mehrere Gruppenelemente mit der selben Ordnung gibt. Ich weiß gerade nicht genau wie ich die [mm] $k_i$ [/mm] beschreiben soll. Die von mir bisher gewählt Notation sollte also schlecht gewählt sein.
2. Ich bin mir noch nicht sicher wie ich einbaue, dass es eben mehr Gruppenelemente mit einer bestimmten Ordnung gibt. Hört sich jetzt an wie mein 1. Problem aber bezieht sich diesmal auf die Gruppenelemente und bei 1. auf die Ordnung... Edit: Natürlich hört es sich so an wie Problem 1, ist ja auch im Grunde das selbe gewesen, nur das 1. belanglos war. Probleme machen nur die verschiedenen Anzahlen und langsam erscheint mir die Klassifikation über Äquivalenzklassen gar nicht mal so ungeeignet.
Ich habe überlegt vielleicht einfach Äquivalenzklassen zu bilden.
Zwei Gruppenelemente sind dann Äquivalent wenn sie die selbe Ordnung haben.
Wobei ich mir dann wieder nicht sicher wäre, wie ich hinterher den Sprung zur Isomorphie schaffe.
Aber:
Ich denke mein Ansatz deckt sich ohnehin nicht mit deinem und ist wahrscheinlich auch nicht zu gebrauchen...
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Kannst du mir auflisten, welche Ordnungen die Elemente in [mm] $\IZ_6$ [/mm] haben?
Kannst du mir auflisten, welche Ordnungen die Elmente in
[mm] $\IZ_{p^i} \times \IZ_{q^j}$ [/mm] für beliebige Primzahlen $p,q$ und natürliche Zahlen $i,j$ haben?
Kannst du allgemein sagen, welche Ordnungen die Elemente in einer beliebigen endlichen abelschen Gruppe haben, die wir wie oben mit dem Hauptsatz zerlegt haben?
Nimm dir die beiden Primzahlpotenzen von oben, die [mm] $p^{a_i}$ [/mm] und die [mm] $q^{b_i}$ [/mm] und bestimme wie viele Elemente es von welcher Ordnung gibt.
Dass die Anzahlen der Elemente aller Ordnungen übereinstimmen wird dir dann sagen, dass auch die Primzahlpotenzen übereinstimmen müssen.
Als Beispiel: Für eine Primzahl $p$ hat [mm] $\IZ_p$ [/mm] genau $p-1$ Elemente der Ordnung $p$ und ein Element der Ordnung $1$.
Es könnte hier hilfreich sein, wenn du aus einer vorherigen Aufgabe schon ein wenig was weißt, zum Beispiel wie viele Elemente einer gewissen Ordnung es in einer zyklischen Gruppe gibt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:04 So 07.12.2014 | | Autor: | YuSul |
Die Ordnungen der Elemente aus [mm] \mathbb{Z}/6 [/mm] sollte ich noch auflisten können:
o(0)=0
o(1)=6
o(2)=3
o(3)=2
o(4)=3
o(5)=6
Bei den anderen Dingen muss ich leider passen.
Leider sollten wir eine derartige Aussage über zyklische Gruppen nicht zur Verfügung haben.
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Hmm, ok, versuchen wir es anders:
Nehmen wir uns erstmal den Spezialfall, dass $G$ und $H$ zyklisch sind, also
$G [mm] \cong \IZ_{p^i}$, [/mm] $H [mm] \cong \IZ_{q^j}$.
[/mm]
Dann enthält $G$ ein Element der Ordnung [mm] $p^i$. [/mm] Damit muss (nach Voraussetzung in der Aufgabenstellung) auch $H$ ein Element der Ordnung [mm] $p^i$ [/mm] enthalten. Da [mm] $|H|=q^j$ [/mm] folgt mit dem Satz von Lagrange (den du hoffentlich schon hattest), dass [mm] $p^i \mid q^j$. [/mm] Andersherum kriegen wir auch [mm] $q^j \mid p^i$ [/mm] und damit sind die beiden Zahlen gleich.
Versuche dieses Vorgehen auf die Gestalten von $G$ und $H$ nach dem Hauptsatz zu verallgemeinern: $G$ enthält ein Element der Ordnung [mm] $p_1^{a_1}$, [/mm] damit muss auch $H$ ein solches Element enthalten, dass heißt es gibt ein $i$ mit [mm] $q_i [/mm] = [mm] p_1$ [/mm] und [mm] $b_i \geq a_1$. [/mm] Mach dir klar, warum es keine andere Möglichkeit gibt, wie $H$ ein Element dieser Ordnung enthalten könnte.
Wenn du das Vorgehen verstehst und es weiterführst bekommst du damit, dass alle Primzahlpotenzen übereinstimmen müssen.
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