endliche abelsche Gruppen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei p eine Primzahl. Wieviele endliche abelsche Gruppen der Ordnung [mm] p^{3} [/mm] gibt es bis auf Isomorphie?
1) Eine nämlich [mm] \IZ_{p^{3}}
[/mm]
2) Zwei, nämlich [mm] \IZ_{p^{3}} [/mm] und [mm] \IZ_{p} \times \IZ_{p} \times \IZ_{p}
[/mm]
3) Drei, nämlich [mm] \IZ_{p^{3}}, \IZ_{p^{2}} \times \IZ_{p} [/mm] und [mm] \IZ_{p} \times \IZ_{p} \times \IZ_{p}
[/mm]
4) Vier nämlich [mm] \IZ_{p^{3}}, \IZ_{p^{2}} \times \IZ_{p}, \IZ_{p} \times \IZ_{p^{2}} [/mm] und [mm] \IZ_{p} \times \IZ_{p} \times \IZ_{p} [/mm] |
Hallo,
ich habe ein kleines Problem bei der Aufgabe und zwar führen mich meine Überlegungen dorthin, dass die 3 Aussage richtig ist und die anderen falsch. Bei Aussage 1 und 2 bin ich mir auch 100% sicher das sie falsch sind... Jedoch gelingt es mir nicht zu zeigen, dass [mm] \IZ_{p^{2}} \times \IZ_{p} [/mm] isomorph zu [mm] \IZ_{p} \times \IZ_{p^{2}} [/mm] ist...
Kann mir hier bei jemand helfen oder sind meine Überlegungen falsch?
LG Schmetterfee
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Hallo
ich habe weiter an der aufgabe weiter gearbeitet und es ist eine weitere Frage aufgetreten
und zwar habe ich etwas über eine sogenannte Diedergruppe gelsen...entspricht eine dieser Bezeichnungen dieser Gruppe?..aber dann sind sie doch nicht mehr isomorph oder?
[mm] \IZ_{p^{2}} \times \IZ_{p}, \IZ_{p} \times \IZ_{p^{2}}
[/mm]
lg Schmetterfee
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> und zwar habe ich etwas über eine sogenannte Diedergruppe
> gelsen...
Hallo,
hast Du denn auch gelesen, daß die Diedergruppe immer eine gerade Anzahl von Elementen hat und nichtabelsch ist?
Damit sollte die Frage beantwortet sein.
Gruß v. Angela
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> > und zwar habe ich etwas über eine sogenannte Diedergruppe
> > gelsen...
>
> Hallo,
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> hast Du denn auch gelesen, daß die Diedergruppe immer eine
> gerade Anzahl von Elementen hat und nichtabelsch ist?
> Damit sollte die Frage beantwortet sein.
>
Hallo
ich habe gelesen, dass sie nicht abelsch íst aber nicht das sie nur eine gerade Anzahl von Elementen hat, weil dann gibt es sie ja gar nicht für alle [mm] p^{3} [/mm] z.B. p=3...also handelt es sich nicht um die Diedergruppe...aber sind dann [mm] \IZ_{p^{2}} \times \IZ_{p} [/mm] und [mm] \IZ_{p} \times \IZ_{p^{2}} [/mm] isomorph?...also ich bin mir ziemlich sicher das es nicht der Fall ist bekomm das aber leider nicht bewiesen...
LG Schmetterfee
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> Jedoch gelingt es mir nicht zu zeigen, dass [mm]\IZ_{p^{2}} \times \IZ_{p}[/mm]
> isomorph zu [mm]\IZ_{p} \times \IZ_{p^{2}}[/mm] ist...
Hallo,
gewähre uns doch mal ein bißchen Einblick in Dein Tun.
Wie hast Du versucht, die Isomorphie zu zeigen?
Was muß man überhaupt tun, um Isomorphie zu zeigen, was ist Isomorphie?
Vielleicht kannst Du auch mal "einfach so" sagen, wie Du zu der Idee gekommen bist, daß die beiden Gruppen isomorph sind.
Vielleicht gewinnst Du hieraus einen Hinweis darauf, was zu tun ist.
Gruß v. Angela
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> > Jedoch gelingt es mir nicht zu zeigen, dass [mm]\IZ_{p^{2}} \times \IZ_{p}[/mm]
> > isomorph zu [mm]\IZ_{p} \times \IZ_{p^{2}}[/mm] ist...
>
> Hallo,
>
> gewähre uns doch mal ein bißchen Einblick in Dein Tun.
> Wie hast Du versucht, die Isomorphie zu zeigen?
>
> Was muß man überhaupt tun, um Isomorphie zu zeigen, was
> ist Isomorphie?
>
> Vielleicht kannst Du auch mal "einfach so" sagen, wie Du zu
> der Idee gekommen bist, daß die beiden Gruppen isomorph
> sind.
> Vielleicht gewinnst Du hieraus einen Hinweis darauf, was
> zu tun ist.
>
Isomorphie bedeutet, ja dass eine bijektive Abbildung zwischen beiden gruppen vorliegt. Dabei müssen die beiden gruppen die gleiche Anzahl an Elementen haben. Das trifft zu...jetzt beim definieren der Abbildung weiß ich jedoch nicht genau wie...
naja ich habe es mir wahrscheinlich zu einfach gemacht..dachte die beiden müssen isomorph sein, weil ich dachte es ist egal ob ich erst [mm] \IZ_{p^{2}} [/mm] habe oder erst [mm] \IZ_{p} [/mm] aber da lag bereits ein fehler...
LG Schmetterfee
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> Isomorphie bedeutet, ja dass eine bijektive Abbildung
mit besonderen Eigenschaften!
> zwischen beiden gruppen vorliegt. Dabei müssen die beiden
> gruppen die gleiche Anzahl an Elementen haben. Das trifft
> zu...jetzt beim definieren der Abbildung weiß ich jedoch
> nicht genau wie...
> naja ich habe es mir wahrscheinlich zu einfach
> gemacht..dachte die beiden müssen isomorph sein, weil ich
> dachte es ist egal ob ich erst [mm]\IZ_{p^{2}}[/mm] habe oder erst
> [mm]\IZ_{p}[/mm] aber da lag bereits ein fehler...
Hallo,
welchen Fehler siehst Du in dieser Überlegung?
Wenn (a,b) [mm] \in \IZ_{p^2}\times\IZ_p, [/mm] dann gibt es doch eine ziemlich naheliegende Abbildung, mit der man in den [mm] \IZ_p\times\IZ_{p^2} [/mm] abbildet, oder?
Versuch's doch mal mit [mm] \phi(a,b):=(b,a).
[/mm]
Gruß v. Angela
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> > Isomorphie bedeutet, ja dass eine bijektive Abbildung
> mit besonderen Eigenschaften!
> > zwischen beiden gruppen vorliegt. Dabei müssen die
> beiden
> > gruppen die gleiche Anzahl an Elementen haben. Das trifft
> > zu...jetzt beim definieren der Abbildung weiß ich jedoch
> > nicht genau wie...
> > naja ich habe es mir wahrscheinlich zu einfach
> > gemacht..dachte die beiden müssen isomorph sein, weil ich
> > dachte es ist egal ob ich erst [mm]\IZ_{p^{2}}[/mm] habe oder erst
> > [mm]\IZ_{p}[/mm] aber da lag bereits ein fehler...
>
> Hallo,
>
> welchen Fehler siehst Du in dieser Überlegung?
>
ich dachte das wäre zu einfach gedacht...
> Wenn (a,b) [mm]\in \IZ_{p^2}\times\IZ_p,[/mm] dann gibt es doch eine
> ziemlich naheliegende Abbildung, mit der man in den
> [mm]\IZ_p\times\IZ_{p^2}[/mm] abbildet, oder?
>
> Versuch's doch mal mit [mm]\phi(a,b):=(b,a).[/mm]
>
nehme ich denn einfach [mm] \phi [/mm] (a,b) + [mm] \phi [/mm] (c,d) und rechne das durch oder mache ich mir das so zu einfach?..denn so kommt es bei mir hin... und mit der multiplikation ist es ja dann genauso...
aber das reicht ja noch nicht um zu sagen das es isomorph is..muss ja noch injektiv und surjektiv zeigen oder?
LG Schmetterfee
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> > Wenn (a,b) [mm]\in \IZ_{p^2}\times\IZ_p,[/mm] dann gibt es doch eine
> > ziemlich naheliegende Abbildung, mit der man in den
> > [mm]\IZ_p\times\IZ_{p^2}[/mm] abbildet, oder?
> >
> > Versuch's doch mal mit [mm]\phi(a,b):=(b,a).[/mm]
> >
> nehme ich denn einfach [mm]\phi[/mm] (a,b) + [mm]\phi[/mm] (c,d) und rechne
> das durch oder mache ich mir das so zu einfach?
Hallo,
irgendwie scheinst Du zu denken, daß die Gleichung einfach=falsch gilt.
Es ist nicht mehr zu tun, als das nachzurechnen.
> ..denn so
> kommt es bei mir hin... und mit der multiplikation ist es
> ja dann genauso...
Mit welcher Multiplikation? Wovon redest Du jetzt?
> aber das reicht ja noch nicht um zu sagen das es isomorph
> is..muss ja noch injektiv und surjektiv zeigen oder?
Ja, natürlich.
Gruß v. Angela
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> > > Wenn (a,b) [mm]\in \IZ_{p^2}\times\IZ_p,[/mm] dann gibt es doch eine
> > > ziemlich naheliegende Abbildung, mit der man in den
> > > [mm]\IZ_p\times\IZ_{p^2}[/mm] abbildet, oder?
> > >
> > > Versuch's doch mal mit [mm]\phi(a,b):=(b,a).[/mm]
> > >
> > nehme ich denn einfach [mm]\phi[/mm] (a,b) + [mm]\phi[/mm] (c,d) und rechne
> > das durch oder mache ich mir das so zu einfach?
>
> Hallo,
>
> irgendwie scheinst Du zu denken, daß die Gleichung
> einfach=falsch gilt.
> Es ist nicht mehr zu tun, als das nachzurechnen.
>
Hallo
ja da hast du recht.. mir fallen beweise noch recht schwer und wenn ich denn bei einem mal einen Ansatz gut hin bekomm..denke ich leider immer zuerst das es falsch ist..
> > ..denn so
> > kommt es bei mir hin... und mit der multiplikation ist es
> > ja dann genauso...
>
> Mit welcher Multiplikation? Wovon redest Du jetzt?
>
na das [mm] \phi [/mm] (a,b) * [mm] \phi [/mm] (c,d)= [mm] \phi [/mm] ((a,b)*(c,d)) ist
> > aber das reicht ja noch nicht um zu sagen das es isomorph
> > is..muss ja noch injektiv und surjektiv zeigen oder?
>
> Ja, natürlich.
>
so die Surjektivität habe ich hin bekommen aber die Injektivität macht mir Probleme..
Ich muss ja zeigen, dass aus [mm] \phi(a,b)=\phi(c,d) \Rightarrow [/mm] (b,a)=(d,c)
oder?
das bereitet mir leider noch probleme...Könntest du mir dabei noch helfen?
dann hätte ich doch auch gezeigt das die beiden isomorph sind...
LG Schmetterfee
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> > Mit welcher Multiplikation? Wovon redest Du jetzt?
> >
> na das [mm]\phi[/mm] (a,b) * [mm]\phi[/mm] (c,d)= [mm]\phi[/mm] ((a,b)*(c,d)) ist
Hallo,
Dir ist klar, daß es innerhalb von Gruppen nur eine einzige Verknüpfung gibt?
Welches Zeichen hierfür verwendet wird, ist völlig schnuppe. Aber es ist nur eine.
Isomorphie:
(G; [mm] \circ_G) [/mm] und (H, [mm] \circ_H) [/mm] heißen isomorph, wenn es eine bijektive Abbildung [mm] \varph:G\to [/mm] H gibt mit
[mm] \varphi(g_1\circ_Gg_2)=\varphi(g_1)\circ_H\varphi(g_2).
[/mm]
[mm] circ_G [/mm] und [mm] circ_H [/mm] sind dann die Verknüpfungen in den Gruppen.
In den Gruppen, mit denen Du es zu tun hast, unterscheidet man die Verknüpfungen meist gar nicht, sondern nennt sie einfach +.
>
> > > aber das reicht ja noch nicht um zu sagen das es isomorph
> > > is..muss ja noch injektiv und surjektiv zeigen oder?
> >
> > Ja, natürlich.
> >
> so die Surjektivität habe ich hin bekommen aber die
> Injektivität macht mir Probleme..
> Ich muss ja zeigen, dass aus [mm]\phi(a,b)=\phi(c,d) \Rightarrow[/mm]
> (b,a)=(d,c)
> oder?
Nein, Du mußt zeigen, daß aus [mm] \varphi(a,b)=\varphi(c,d) [/mm] folgt, daß (a,b)=(c,d).
Bew.:
Sei [mm] \varphi(a,b)=\varphi(c,d).
[/mm]
==> (b,a)=(d,c)
==> b=... und a=...
==> ...
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 01:14 Fr 04.06.2010 | | Autor: | Ersty |
Bei mir ist nur Antwort 1 richtig.
Der Rest ist falsch...
Ich glaube es gilt sogar der Satz, wenn die Ordnung nicht [mm] p^3 [/mm] sondern [mm] p^n [/mm] ist, gibt es bis auf Isomorphie genau 1 endliche abelsche Gruppe.
MFG Ersty
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 05:32 Fr 04.06.2010 | | Autor: | angela.h.b. |
> Bei mir ist nur Antwort 1 richtig.
> Der Rest ist falsch...
Hallo,
mit Antwort 1 erzählst Du gerade, daß alle Gruppen der Ordnung [mm] p^3 [/mm] zyklisch sind...
Wenn nur Antwort 1 richtig ist, ist Deiner Meinung nach $ [mm] \IZ_{p} \times \IZ_{p} \times \IZ_{p} [/mm] $ entweder nicht abelsch oder nicht nicht von Ordnung [mm] p^3 [/mm] oder isomorph zu [mm] \IZ_{p^3}.
[/mm]
Warum denkst Du das?
> Ich glaube es gilt sogar der Satz,
Auf meinen Glauben würde ich mich hier nicht verlassen, sondern lieber nochmal nachschlagen...
> wenn die Ordnung nicht
> [mm]p^3[/mm] sondern [mm]p^n[/mm] ist, gibt es bis auf Isomorphie genau 1
> endliche abelsche Gruppe.
Ich weiß, welchen Satz Du meinst.
Man geht bei diesem Satz davon aus, daß man irgendeine Gruppe der Ordnung [mm] p^n [/mm] vorliegen hat.
Diese ist 1. isomorph zu einem direkten Produk zyklischer Gruppen v. Primzahlpotenz, und 2. ist die Zerlegung ist eindeutig.
Für die eine vorgegebene Gruppe gibt es also bis auf Isomorphie nur eine solche Zerlegung.
Die Aufgabenstellung beschäftigt sich aber nicht mit einer bestimmten Gruppe der Ordnung [mm] p^3, [/mm] sondern damit, was bei Gruppen der Ordnung [mm] p^3 [/mm] prinzipiell vorkommen kann.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:09 Fr 04.06.2010 | | Autor: | Ersty |
Ah ok, danke für die Anmerkung.
Genau den Satz, den du aufgeschrieben hast, meinte ich.
Ich habe noch eine Rückfrage:
Ich kann also vom allgemeinen nicht auf dieses Beispiel schließen, denn ich dachte wenn es nur genau einen Isomorphismus gibt, dann kann nur Antwort 1 richtig sein?
Denn Antwort 2 hab ich nachgerechnet, dass die auf alle Fälle isomorph sind, aber es geht ja darum in dieser Aufgabe sie paarweise zueinander "verschiedenen" Isomorphien, sprich die Isomorphieklassen zu finden (ist nicht perfekt formuliert, aber ich hoffe du verstehst den Sinn).
Und für mich war das der selbe Isomorphismus, kein verschiedener.
(Ich hab das mit p=2 mal durchgerechnet in Antwort 2)
LG Ersty
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> Ich habe noch eine Rückfrage:
> Ich kann also vom allgemeinen nicht auf dieses Beispiel
> schließen, denn ich dachte wenn es nur genau einen
> Isomorphismus gibt, dann kann nur Antwort 1 richtig sein?
Hallo,
natürlich muß man den Satz verwenden, aber Dein Schluß, daß nur Antwort 1 richtig ist, ist verkehrt.
Richtig ist es, daß man jede abelsche Gruppe der Ordnung [mm] p^r [/mm] erstens als direktes Produkt von zyklischen Gruppen der Ordnungen [mm] p^{k_i} [/mm] schreiben kann,
und dieses Produkt dann bis auf Isomorphie eindeutig ist.
In dem Satz steht aber nicht, daß jede abelsche Gruppe der Ordnung [mm] p^r [/mm] isomorph ist zu der einen zyklischen Gruppe [mm] \IZ_{p^3}. [/mm]
(So hast Du den Satz verwendet.)
Mal ein Beispiel: wir nehmen eine abelsche Gruppe G der Ordnung [mm] 5^4.
[/mm]
Wir wissen, daß wir sie in ein Produkt von Gruppen, deren Ordnung 5er-Potenz hat, zerlegen können,
daß [mm] G\cong \IZ_{5^{k_1}}\otimes [/mm] ... [mm] \IZ_{5^{k_m}},
[/mm]
aufgrund der Ordnung von G muß [mm] k_1+...+k_m=4 [/mm] sein.
Wenn wir weiter fordern [mm] k_1\ge...\ge{k_m} [/mm] ("bis auf Isomorphie"), dann ist die Zerlegung eindeutig.
Welche Möglichkeiten haben wir hier nun?
[mm] \IZ_{5^{1}}\otimes\IZ_{5^{1}}\otimes\IZ_{5^{1}}\otimes\IZ_{5^{1}}
[/mm]
[mm] \IZ_{5^{2}}\otimes\IZ_{5^{1}}\otimes\IZ_{5^{1}}
[/mm]
[mm] \IZ_{5^{2}}\otimes\IZ_{5^{2}
\Z_{5^3}}\otimes\IZ_{5^1}
[/mm]
[mm] \IZ_{5^4}
[/mm]
> Denn Antwort 2 hab ich nachgerechnet, dass die auf alle
> Fälle isomorph sind,
Was meinst Du damit?
Die beiden Gruppen bei Antwort 2) sind jedenfalls nicht isomorph.
Die erste der Gruppen ist zyklisch, die zweite nicht.
Falls Du die zweite ebenfalls für zyklisch hältst: welches erzeugende Element schlägst Du vor?
> Und für mich war das der selbe Isomorphismus, kein
> verschiedener.
> (Ich hab das mit p=2 mal durchgerechnet in Antwort 2)
Ohne Deine Rechnung zu sehen, kann man Dir nicht sagen, wo der Fehler liegt.
Welchen Isomorphismus zwischen den beiden Gruppen meinst Du denn gefunden zu haben?
Worauf wird [mm] 1\in \IZ_8 [/mm] abgebildet?
Gruß v. Angela
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