endlicher Körper < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:43 Mi 03.12.2003 | | Autor: | Jessica |
Haloo zusammen,
ich habe bei meinen neuen Multiple-Choice Aufgaben in LA ein Problem.
In einer Aufgabe sollen wir die Anzahl der Elemente der Mengen bestimmen.
Also:
Es sei K ein endlicher Körper mit q elementen. Bestimmen sie jeweils die Anzahl der Elemente in den folgenden Mengen.
1. Die Menge der 1-dimensionalen Untervektorräume von K3 für q=3.
2. Die Menge der K-linearen Abbildungen von K2Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
nach K für q=13.
3. M={phi elemnet von HomK(K2x2,K) | phi(E2Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
=0} und q=3.
Könntet ihr mir vielleicht einen Tipp gehen wie ich hierbei vorgehen muss. Mir konnte bis jetzt keine so recht sagen wie dies geht.
Danke schon im vorraus
Jessica.
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:31 Fr 05.12.2003 | | Autor: | Hans |
Hi.
Wie sieht es denn im Z/5 mit der linearen Una bhaengigkeit von den Vektoren (3,4,4,4,2), (1,2,1,3,1), (4,1,2,1,0) und (3,1,2,2,2) aus... es muss ja die Linearkombination mit modulo gleich 0 sein fuer alle skalare, nicht fuer die vektoren selbst, richtig?
gruss hans
Nachricht bearbeitet (Fr 05.12.03 20:36)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:41 Fr 05.12.2003 | | Autor: | Stefan |
Hallo Hans,
ja, du setzt voraus, dass die Linearkombination gleich dem Nullvektor ist und musst daraus folgern, dass jedes Skalar (also jeder Vorfaktor) gleich null ist. Dann sind die vier Vektoren linear unabhängig. Versuche es doch mal und melde dich mit einer Vermutung inklusive Rechnung.
Alles Gute
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:22 Fr 05.12.2003 | | Autor: | Stefan |
Hallo Hans,
also wenn du ganz normal den Gauß-Algorithmus durchrechnest (nur halt im Körper [mm]\IZ_5[/mm] (!)), dann kommst du darauf, dass am Schluss eine Nullzeile übrigbleibt. Die Vektoren sind also linear abhängig. Versuche es mal, es geht recht schnell.
Alles Gute
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:17 So 07.12.2003 | | Autor: | Hans |
Hi Stefan.
Mit dem Z/5 siehts so aus.
die vektoren waren ja
v1=(3,1,2,2,2)
v2=(4,1,2,1,0)
v3=(1,2,1,3,1)
v4=(3,4,4,4,2)
und es war gefragt nach der dimension des von v1,v2,v3,v4 aufgespannten UVR gefragt, sowie einer teilfamilie von v1,v2,v3,v4 die eine basis von diesem U ist.
Meine Idee ist inzw. wie folgt.
v4=2*v1+1*v3+3*v3, also raus damit.
dann muss ich zeigen, dass 1,2,3 lin unabh sind...
dann hab ich ja beides gezeigt...das werd ich jez gleich ma versuchen...
wenn du dein lgs reinstellen willst / koenntest, waer das natuerlich nett...schon zur kontroll, da ich mir mit dem modulo rechnen irgendwie ziemlich unsicher bin.
danke, und schoene letzte stunden des WE
hans
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:20 Mo 08.12.2003 | | Autor: | Marc |
Hallo Hans,
zu lösen ist dieses Lineare Gleichungssystem, welches ich als Koeffizientenmatrix schreibe:
(Die Spalte rechts ist die rechte Seite der Gleichungen)
[mm]
\begin{pmatrix}
3 & 4 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 2 & 0 \\
2 & 2 & 1 & 0 \\
2 & 1 & 3 & 0 \\
2 & 0 & 1 & 0 \\
\end{pmatrix}
[/mm]
Vertauschen der 1. und 2. Zeile:
[mm]
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 & 0 \\
3 & 4 & 1 & 0 \\
2 & 2 & 1 & 0 \\
2 & 1 & 3 & 0 \\
2 & 0 & 1 & 0 \\
\end{pmatrix}
[/mm]
Jetzt versuche ich, in der ersten Spalte (bis auf die erste Gleichung) Nullen zu erzeugen, indem ich geeignete Vielfache der ersten Zeile zu jeder der anderen Zeilen addiere:
2. Zeile := 2. Zeile + 2*1. Zeile
3. Zeile := 3. Zeile + 3*1. Zeile
4. Zeile := 4. Zeile + 3*1. Zeile
5. Zeile := 5. Zeile + 3*1. Zeile
Nochmal dazu, wie man auf die Vielfachen der 1. Zeile kommt:
Wir wollen ja eine Zahl zu den vorhandenen Koeffizienten 3,2,2,2 der 1. Spalte addieren, so dass dort gerade Null heraus kommt.
3 + ? = 0
=> 3 + 2 = 0
Also addiere ich das 2-fache der 1. Zeile zur 2. Zeile.
[mm]
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 2 & 0 \\
0 & 4 & 4 & 0 \\
0 & 3 & 2 & 0 \\
\end{pmatrix}
[/mm]
Genauso verfahre ich mit den Einträgen in der 2. Spalte unterhalb der Hauptdiagonale:
4. Zeile := 4. Zeile + 1*2. Zeile
5. Zeile := 5. Zeile + 2*2. Zeile
[mm]
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 4 & 0 \\
0 & 0 & 2 & 0 \\
\end{pmatrix}
[/mm]
3. Zeile := 3. Zeile / 2
4. Zeile := 4. Zeile + 3. Zeile / 2
5. Zeile := 5. Zeile + 3. Zeile / 2 * 3
[mm]
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}
[/mm]
An dieser letzten Matrix sieht man nun, dass die drei Koeffizienten des LGS eindeutig bestimmt sind und alle gleich Null sind. Somit sind die drei Vektoren linear unabhängig, und der von allen vier aufgespannte Unterraum ist dreidimensional.
Noch ein Tipp, um den Arbeitsaufwand zu optimieren: Dieser Gauß-Algorithmus eignet sich auch, um direkt die Dimension des Unterraums zu bestimmen. Bei der nächsten Aufgabe dieser Art würde ich sofort mit dem Gauß-Algorithmus beginnen und die Koeffizienten-Matrix auf Dreiecksgestalt bringen. Die Dimension des von den Vektoren aufgespannten Unterraumes ist dann die Anzahl der Nicht-Nullzeilen (="Rang" der Koeffizienten-Matrix).
Alles Gute,
Marc
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:41 Fr 05.12.2003 | | Autor: | Marc |
Hallo Stefan,
> zu 1) : In jedem eindimensionalen Untervektorraum liegen der
> Nullvektor und zwei weitere Vektoren (mach dir das bitte klar).
Das meinst du doch nicht allgemein, sondern speziell für den Kürper [mm] \IZ_3[/mm], oder?
Für [mm] \IZ_2[/mm] gilt es jedenfalls nicht (da besteht jeder eindimensionale Unterraum aus genau zwei Vektoren). Und es dürfte doch auch nicht (allgemein) für Körper gelten, die selbst-inverse (bzgl. Addition) Elemente haben (gibt es davon welche außer [mm]\IZ_2[/mm]?).
Viele Grüße,
Marc.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:45 Fr 05.12.2003 | | Autor: | Stefan |
Lieber Marc,
ja, klar meinte ich das speziell für [mm]\IZ_3[/mm]!
> Und es
> dürfte doch auch nicht (allgemein) für Körper gelten, die
> selbst-inverse (bzgl. Addition) Elemente haben (gibt es davon
> welche außer [mm]\IZ_2[/mm]?).
Nein, denn aus [mm]0=a+a=2a[/mm] für bereits ein [mm]a\ne 0[/mm] folgt, dass die Charakteristik des Körpers gleich 2 ist, denn dann gilt für alle [mm]x[/mm]:
[mm]x+x = a^{-1}\cdot a \cdot (x+x) = a^{-1} \cdot (ax+ax) = a^{-1} \cdot (x \cdot (a+a)) = 0[/mm]
Alles Gute
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:01 Mo 18.10.2004 | | Autor: | Cordo |
Hi,
die Behauptung, es gebe nur einen Körper der Charakteristik 2, ist natürlich falsch. Es gibt unendlich viele.
Etwa [mm] Z_2[x]/ (x^2+x+1), [/mm] Körper mit vier Elementen der Charakteristik 2.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:30 Mo 18.10.2004 | | Autor: | Cordo |
Hi,
ist wirklich schon länger her, aber ich bin bei suchen über google darüber gestolpert und wollte das so nicht stehen lassen ;)
Viele Grüße, Cordo.
|
|
|
|
, einigermaßen elegant lösen:
