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| Aufgabe | Die Matrix [mm] \pmat{ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 &1 \\ 1 & 1 & 2 }
[/mm]
hat einen nicht entarteten und einen entarteten Eigenwert.
a) Bestimmen Sie alle Eigenwerte.
b)Wie hoch ist der Entartungsgrad des entarteten Eigenwerts? Waum hätten Sie diese Frage auch ohne die Rechnung in a) beantworten können?
c) Wie lautet der Eigenvektor zum nicht-entarteten Eigenwert?
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Hallo,
bei der Aufgabe hab ich schonmal das Problem, das ich nicht wirklich weiß, was entartete und nicht-entartete Eigenwerte sind.
Nachgelesen hab ich, dass es bei entartete Eigenwerte mehrere Lösungen gibt.
Bei nicht-entarteten Eigenwerten wird ein 1-dim. Eigenraum gebildet.
Wie kann nun aber beides in einer Matrix sein?
Ich hab jetzt mal die Eigenwerte wie immer mit folgender Gleichung ausgerechnet:
[mm] det(A-\lambda*E)=0
[/mm]
Und dann eben über die Regel von Sarrus die Determinante ausgerechnet.
Ich komme damit auf folgende Gleichung:
[mm] -\lambda^{3}+6\lambda^{2}-14\lambda+5=0
[/mm]
Ich bin mir ziemlich sicher, dass ich mich nicht verrechnet hab.
Normalerweise würde ich jetzt eine Nullstelle suchen durch Ausprobieren und dann durch Polynomdivision und die Mitternachtsformel die restlichen Nullstellen und damit Eigenwerte berechnen.
Ich find aber absolut keine Nullstelle.... :(
Wäre echt toll, wenn ihr mir Tipps geben könntet, wie ich auf die Lösung komm :)
Viele Grüße
Franz
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Hallo FranzFerdinand,
Dein charakteristisches Polynom ist nicht ganz richtig; es muss heissen
p(x) = [mm] x^3-6x^2+9x-4
[/mm]
(bis aufs Vorzeichen!)
Dieses Polynom hat die einfache Nullstelle 4, aber die doppelte Nullstelle 1.
zu untersuchen ist, ob der doppelte Eigenwert [mm] \lambda [/mm] = 1 auch die entsprechenden Eigenvektoren hat!
ok?
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stimmt, hast recht! :)
Da komm ich dann schon ein Stückchen weiter. Aber die Unklarheit über entartete/nicht-entartete Eigenwerte bleibt :(
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also das heißt, 1 ist mein entarteter eigenwert, weil es eine doppelte nullstelle ist?
und wie bekomm ich nun den entartungsgrad?
und wieso hätte ich das gleich aus der matrix erkennen können??
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> also das heißt, 1 ist mein entarteter eigenwert, weil es
> eine doppelte nullstelle ist?
> und wie bekomm ich nun den entartungsgrad?
> und wieso hätte ich das gleich aus der matrix erkennen
> können??
Hallo,
Du mußt schauen, wie Ihr das mit der Entartung definiert habt, ich denke schon, daß es so ist, wie Du sagst.
Ich habe folgendes gefunden: "Gibt es zu einem Eigenwert [mm] \lambda [/mm] q linear unabhängige Eigenvektoren, dann ist der Eigenwert q-fach entartet."
Du mußt nun also ausrechnen, welche Dimension der Eigenraum zum Eigenwert zum Eigenwert 1 hat.
(Du wirst sehen: 2).
Wieso Du das schon vorher hättest wissen können: die Matrix ist symmetrisch, also ...???
Gruß v. Angela
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Vielen lieben Dank!!
Das hilft mir wirklich weiter! :)
*freu*
Jetzt blick ich das endlich mit entartet und nicht-entartet :)
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Hm, wenn ich jetzt zu meinem nicht entarteten Eigenwert den Eigenvektor berechnen möchte.
also (A- [mm] \lambda E)\vec{a}=0
[/mm]
Ich setz also meinen Eigenwert=4 ein, bring meine Matrix auf die Dreiecksform und stell ein LGS auf.
ich komm zu
[mm] \pmat{ -2 & 1 & 1 \\ 0 & -3 & 3 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Also hab ich das LGS:
-2x1+x2+x3=0
-3x2+3x3=0
also x2= x3
das in die erste gleichung gesetzt, ergibt: -2x1+2x2= 0
und daraus x1=x2=x3
STIMMT DAS???
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> Hm, wenn ich jetzt zu meinem nicht entarteten Eigenwert den
> Eigenvektor berechnen möchte.
> also (A- [mm]\lambda E)\vec{a}=0[/mm]
> Ich setz also meinen
> Eigenwert=4 ein, bring meine Matrix auf die Dreiecksform
> und stell ein LGS auf.
> ich komm zu
> [mm]\pmat{ -2 & 1 & 1 \\ 0 & -3 & 3 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
> Also hab
> ich das LGS:
> -2x1+x2+x3=0
> -3x2+3x3=0
> also x2= x3
> das in die erste gleichung gesetzt, ergibt: -2x1+2x2= 0
> und daraus x1=x2=x3
> STIMMT DAS???
Hallo,
ja, Du hast richtig gerechnet.
Du mußt es nun noch richtig interpretieren:
Alle Eigenvektoren zum Eigenwert 1 haben die Gestalt [mm] \vektor{x_1\\x_1\\x_1}=x_1*\vektor{1\\1\\1}.
[/mm]
Sie sind Vielfache des Vektors [mm] \vektor{1\\1\\1}, [/mm] also ist [mm] \vektor{1\\1\\1} [/mm] eine Basis des Eigenraumes - und natürlich ein Eigenvektor zum Eugenwert 1.
Gruß v. Angela
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Alles klar! Vielen Dank! :)
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| Aufgabe | d)Verwenden Sie die Gram-Schmidt-Prozedur, um die Vektoren [mm] \vec{x}=\vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] und [mm] \vec{y}=\vektor{1 \\ 1 \\ 0} [/mm] zum Eigenvektor aus c) und zueinander zu orthogonalisieren. Zeigen Sie, dass die daraus resultierenden Vektoren Eigenvektoren der gegebenen Matrix sind und zum entarteten Eigenwert gehören.
e) Welche zwei Eigenschaften des Problems machen das in d) beschrittene Verfahren in diesem Falle zu einer legitimen Methode zur Bestimmung der übrigen Eingevektoren? Welche Anforderungen müssen die dabei verwendeten Vektoren x und y genügen? Zeigen Sie, dass die in d) gewählten Vektoren diese Anforderungen erfüllen. |
Soo, die Aufgabe geht also noch weiter ;)
Mein Eigenvektor von c) ist ein Vielfaches von [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1}.
[/mm]
Also ist [mm] \vec{z}= \vektor{1 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
Beim Orthogonalisieren, such ich mir erstmal einen Anfangsvektor.
Da hab ich der x genommen, weil dann der Bruchterm einfacher ist.
also:
[mm] \vec{x}=\vec{a1}
[/mm]
[mm] \vec{y}=\vec{a2}-\bruch{\vec{a2}-\vec{x}}{\vec{x}^{2}}*\vec{ax}
[/mm]
[mm] \vec{y}=\vektor{1 \\ 1 \\ 0}-\bruch{1}{\wurzel{1}}*\vektor{1 \\ 0 \\ 0}=\vektor{0 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
[mm] \vec{z}=\vektor{0 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
Normiert sind sie schon.
Nun hab ich sie in die Gleichung
[mm] (A-\lambdaE)\vec{x}=\lambda\vec{x} [/mm] (=Eigenvektor)
eingesetzt.
Natülich mit dem Eingenwert 1. UND es kam tatsächlich der Eigenvektor von c) raus :)
Hoffe, ich hab das so richtig gemacht...
Frage e) versteh ich nicht, weil ich schonmal gar kein Problem seh :(
Was genau wollen die denn wissen?
Liebe Grüße
Franz
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> d)Verwenden Sie die Gram-Schmidt-Prozedur, um die Vektoren
> [mm]\vec{x}=\vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm] und [mm]\vec{y}=\vektor{1 \\ 1 \\ 0}[/mm]
> zum Eigenvektor aus c) und zueinander zu orthogonalisieren.
> Zeigen Sie, dass die daraus resultierenden Vektoren
> Eigenvektoren der gegebenen Matrix sind und zum entarteten
> Eigenwert gehören.
> e) Welche zwei Eigenschaften des Problems machen das in d)
> beschrittene Verfahren in diesem Falle zu einer legitimen
> Methode zur Bestimmung der übrigen Eingevektoren? Welche
> Anforderungen müssen die dabei verwendeten Vektoren x und y
> genügen? Zeigen Sie, dass die in d) gewählten Vektoren
> diese Anforderungen erfüllen.
> Soo, die Aufgabe geht also noch weiter ;)
>
> Mein Eigenvektor von c) ist ein Vielfaches von [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 1}.[/mm]
Hallo,
bei Deiner Orthonormalisierung ist was schiefgelaufen: Du hast zwar am Ende 3 orthonormale Vektoren, die drei Einheitsvektoren nämlich - welche man auch ohne diesen Aufwand hätte bekommen können.
Du hast die Aufgabe aber nicht gelöst. Denn Du solltest ja so orthonormalisieren, daß die entstehenden Vektoren mit [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] ein Orthonormalsystem bilden.
Du müßtest also als Startvektor diesen Eigenvektor nehmen.
Aufg. e) hängt mit Eigenschaften der Eigenvektoren von symmetrischen Matrizen zusammen.
Gruß v. Angela
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