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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:25 So 29.05.2011 | | Autor: | Bappi |
| Aufgabe | Sei [mm] $(X_n)_{n\in \mathbb N_0}$ [/mm] ein stochastischer Prozess mit Werten in einem polnischen Raum $E$. Ohne Einschränkung können wir annehmen, dass $X$ der kanonische Prozess auf dem W-Raum [mm] $(\Omega,\mathcal A,\mathbb [/mm] P) = [mm] (E^{\mathbb N_0},\mathcal B(E)^{\otimes\mathbb N_0},\mathbb [/mm] P)$ ist. Definiere den Shift
[mm] $\tau [/mm] : [mm] \Omega \to \Omega [/mm] : [mm] (\omega_n)_{n\in \mathbb N_0} \mapsto (\omega_{n+1})_{n\in \mathbb N_0}$
[/mm]
Dann ist [mm] $X_n(\omega) [/mm] = [mm] X_0(\tau^n(\omega))$. [/mm] Also ist $X$ genau dann stationär, wenn [mm] $(\Omega,\mathcal A,\mathbb P,\tau)$ [/mm] ein maßerhaltendes dynamisches System ist. |
Hallo!
Bei der Vorbereitung meines Vortrag habe ich Probleme ein (eigentlich triviales) Beispiel nachzuvollziehen, ich denke es liegt an der Notation.
Die Rückrichtung ist klar. (Stationarität ist bei mir wie folgt definiert: [mm] $\mathcal L{(X_{t+s})_{t\in I}} [/mm] = [mm] \mathcal L{(X_t)_{t\in I}} \quad \text{für jedes }s \in [/mm] I$, wobei [mm] $\mathcal [/mm] L[X] = [mm] \mathbb P_X$ [/mm] bezeichnet)
Wähle ich $k,n [mm] \in \mathbb [/mm] N$ und $B [mm] \in \mathcal B^{n+1}$, [/mm] dann gilt
[mm] $\mathbb P((X_0,\dots,X_n) \in [/mm] B) = [mm] \mathbb P^{\tau^k}((X_0,\dots,X_n) \in [/mm] B) = [mm] \mathbb P((X_k,\dots,X_{n+k}) \in [/mm] B)$,
also folgt die Stationarität. (hier reicht eigentlich auch der Fall $k=1$, oder?)
Für die Hinrichtung müsste ich nun X als stationär annehmen und [mm] $\mathbb P_X$ [/mm] die induzierte Verteilung auf dem Raum [mm] $(E^{\mathbb N_0},\mathcal B(E)^{\otimes\mathbb N_0})$. [/mm] Wegen der X stationär, wissen wir ja nun, dass [mm] $\mathcal L(X_{n+1})_{n\in \mathbb N_0} [/mm] = [mm] \mathcal L(X_n)_{n\in \mathbb N_0} [/mm] $, also
[mm] $\mathbb P((X_0,\dots,X_n) \in [/mm] B) = [mm] \mathbb P((X_1,\dots,X_{n+1}) \in [/mm] B)$,
nur sehe ich nicht, wie ich jetzt die Eigenschaft [mm] $X_n(\omega) [/mm] = [mm] X_0(\tau^n(\omega))$ [/mm] hier verwenden kann.
Mfg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Di 31.05.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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