erlaubte Umformungen < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich möchte mir für meine Klausur gerne die erlaubten Umformungen nach Gauß aufschreiben und zwar für normale Matrizen, aber auch bei der Berechnung von Inversen mit Gauß sowie der Berechnung von Determinanten mit Gauß (es geht auch mit anderen Möglichkeiten, aber wir sollen auch Gauß können).
Im Grunde habe ich ja immer bei Gauß: Zeilenaddition, Zeile mit einem Skalar multiplizieren und Zeilentausch. Dabei muss ich im Hinblick auf das Ergebnis nichts beachten (also nichts mehr zurücktauschen), oder doch?
Gibt es den Spaltentausch? Spalltenaddition macht ja keinen Sinn, aber was ist beim Spaltentausch? Falls das definiert ist, muss ich da nachher noch die jeweiligen Spalten im Ergebnisvektor tauschen?
Wie sehen die erlaubten Gauß.Umformungen bei der Berechnung von Inversen aus? Gibts da Ausnahmen, die man beachten sollte, wie zB Spaltentausch?
Und wie sieht es mit Determinanten aus? Da ist ja laut [mm] det(A)=det(a^t) [/mm] erlaubt Spalten zu addieren bzw voneinander zu subtrahieren (zusätzlich zu den oben genannten Umformungen?). Muss ich hier noch was beachten? Eventuell ein- vor die Determinante setzen, wie beim Zeilentausch? Da muss ich doch ein - vor die Determinante setzen, richtig?
Wie wirkt sich das nachher auf mein Ergebnis aus? Muss ich einfach das Endergebnis, zB 5 mit (-1) multiplizieren?
Vielen Dank für eure Hilfe!
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Hallo,
wenn Du den Gaußalgorithmus zum Lösen von linearen Gleichungssystemen oder zur Berechnung von inversen Matrizen verwendest, kannst Du kaum etwas falsch machen, sofern Du die Finger bzw. den Stift von den Spalten läßt. Laß sie einfach in Frieden, tausche keine Spalten, multipliziere keine Spalten. Solange Du nur mit den Zeilen herumwurschtest, kann kaum etwas schief gehen.
Du darfst sie nach Herzenslust multiplizieren, addieren, tauschen, ohne daß Du irgendwas beachten mußt.
Wenn Du mit Gauß die Determinante berechnen willst, mußt Du etwas aufpassen - ich verwende diese methode daher i.d.R. nicht:
Du darfst Vielfache irgendeiner Spalte oder Zeile zu einer Spalte bzw. Spalte addieren, ohne daß sich etwas verändert.
Tauschst Du zwei Zeilen oder Spalten, so ist (-1)det [mm] Matrix_{alt}=det Matrix_{neu}.
[/mm]
Multiplizierst Du eine Spalte oder Zeile mit c, so ist c*det [mm] Matrix_{alt}=det Matrix_{neu}
[/mm]
Wenn Du solche Dinge tust, notierst Du Dir das am besten immer an der entsprechenden Stelle, z.B. so, wie ich es vorgemacht habe mit c*det [mm] Matrix_{alt}=det Matrix_{neu}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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Das bedeutet, wenn ich die Matrix bei der Berechnung von der Determinante mit c multiplizieren, muss ich dann mein Ergebnis nochmal mit c multiplizieren? Das versteh ich irgendwie nicht.
Wenn ich eine Zeile oder Spalte tausche, dann multipliziere ich ja am Ende auch einfach das Ergebnis mit (-1).
Wir haben aber schonmal bei der Lösung eines lin Gleichungssystems was vertauscht und am Ende zurückgetauscht. Ich kann mich aber nicht erinnern ob es Zeilen oder Spalten waren.
Aber wie sind da die Regeln?
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> Das bedeutet, wenn ich die Matrix bei der Berechnung von
> der Determinante mit c multiplizieren, muss ich dann mein
> Ergebnis nochmal mit c multiplizieren? Das versteh ich
> irgendwie nicht.
Hallo,
ich schrieb doch
>> Tauschst Du zwei Zeilen oder Spalten, so ist (-1)det $ [mm] Matrix_{alt}=det Matrix_{neu}. [/mm] $
>> Multiplizierst Du eine Spalte oder Zeile mit c, so ist c*det $ [mm] Matrix_{alt}=det Matrix_{neu} [/mm] $
Mal angenommen, im VerlaufeDeinerRechnung multiplizierst Du mit 2,3,4,5 und tauschst dreimal Zeilen oder Spalten.
Dann hast Du am Ende [mm] (-1)^3*2*3*4*5*det [/mm] $ [mm] Matrix_{alt}=det Matrix_{neu} [/mm] .
Die Determinante der neuen Matrix rechnest Du aus, und wenn Du sie durch [mm] (-1)^3*2*3*4*5 [/mm] dividierst, hast Du die Determinante der alten Matrix.
>
> Wir haben aber schonmal bei der Lösung eines lin
> Gleichungssystems was vertauscht und am Ende
> zurückgetauscht. Ich kann mich aber nicht erinnern ob es
> Zeilen oder Spalten waren.
Spalten, die Du vertauschst, mußt Du zurücktauschen, beim Zeilentausch mußt Du nichts machen.
Man kommt bei der Lösung von LGS sehr gut ohne Spaltentausch zurecht. Ich rate Dir dringend davon ab, Spalten zu tauschen. Man bekommt zu leicht ein Durcheinander.
Gruß v. Angela
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Also, in eigenen Worten, wenn ich eine Zeile mit einer Zahl multipliziere, muss ich nachher mein Ergebnis durch diese Zahl teilen, richtig?
Wenn ich eine Spalte damit multipliziere auch? Eigentlich schon, macht ja sonst keinen Sinn.
Tausche ich Zeilen, muss ich mein Ergebnis mit -1 multiplizieren, beim Spaltentausch nicht?
Und: Beim Lösen lin. Gleichungen darf man doch aber sehr wohl Spalten tauschen, solange man nachher wieder die jeweiligen Zeilen zurücktauscht, oder? Habe ich also als Lösungsvektor -1 2 3 4, muss ich bei Spaltentausch von Spalte 2 gegen 4 schreiben: -1 4 3 2, oder?
Ich weiß es wird komplizierter, aber manchmal passt es eben trotzdem ganz gut und wenn man es einmal weiß, geht das auch.
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Grußwort zur 2. Revision: ich habe es gerade gut geschafft, mich selbst zu verwirren. Ein Talent, das sicher noch ausbaufähig ist.
> Also, in eigenen Worten, wenn ich eine Zeile mit einer Zahl
> multipliziere, muss ich nachher mein Ergebnis durch diese
> Zahl teilen, richtig?
Ja.
> Wenn ich eine Spalte damit multipliziere auch? Eigentlich
> schon, macht ja sonst keinen Sinn.
Genau.
> Tausche ich Zeilen, muss ich mein Ergebnis mit -1
> multiplizieren, beim Spaltentausch nicht?
Doch, auch.
> Und: Beim Lösen lin. Gleichungen darf man doch aber sehr
> wohl Spalten tauschen, solange man nachher wieder die
> jeweiligen Zeilen zurücktauscht, oder?
Man darf, aber man lässt es besser. Ich bin ganz auf Angelas Seite...
> Habe ich also als
> Lösungsvektor -1 2 3 4, muss ich bei Spaltentausch von
> Spalte 2 gegen 4 schreiben: -1 4 3 2, oder?
Ja.
> Ich weiß es wird komplizierter, aber manchmal passt es eben
> trotzdem ganz gut und wenn man es einmal weiß, geht das
> auch.
Je mehr Du tauschst, umso größer wird die Fehleranfälligkeit. Deswegen ist größte Vorsicht und Konzentration geboten.
Inhaltlich hast Du's jetzt aber verstanden, denke ich.
Die Regeln, die Du hier für Dich zusammenfasst, gelten z.T. nur für die Determinantenberechnung, z.T. für die Lösung des Gleichungssystems. Bring sie bloß nicht durcheinander...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:08 Do 20.11.2008 | | Autor: | Englein89 |
Super, danke! :)
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Hallo!
Nur nochmal zu Determinanten:
[mm] \vmat{ 0.5 & 0 \\ 0 & 0.5 } [/mm] = 0.25
---
Jetzt rechne ich erst eine Zeile mal [mm] \red{2}:
[/mm]
[mm] \vmat{ 0.5 & 0 \\ 0 & 0.5 } [/mm] = [mm] \bruch{1}{\red{2}}*\vmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0.5 }
[/mm]
Und dann die andere:
[mm] \bruch{1}{\red{2}}*\vmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0.5 } [/mm] = [mm] \bruch{1}{\red{2}}*\bruch{1}{\red{2}}*\vmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] = 0.25
Okay?
Stefan.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:14 Do 20.11.2008 | | Autor: | reverend |
Guter Hinweis, danke. Oder auch: äh, peinlich.
Ich geh mal meinen letzten Beitrag revidieren...
Nee, doch nicht.
Ich klebe gerade Adressetiketten auf 700 Briefe und bin über jede Ablenkung erfreut. Offenbar funktionier die Ablenkung aber doch andersrum.
Gibt es das Wort rerevidieren? Vielleicht sollte ich mich rereverend nennen.
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Ich hab jetzt einmal eine konkrete Aufgabe gefunden.
Die Matrix:
1 0 1 3
0 1 1 4
0 0 0 5
0 1 0 1
Ich hab das Ergenis bekommen durch: S2 <-> S3 und dann S3-S4.
Das Ergebnis ist dann 1*1*(-5)*1 = -5.
Aber müsste ich laut eurer Definition nicht noch *(-1) rechnen weil ich Spalten getauscht hab?
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> Ich hab jetzt einmal eine konkrete Aufgabe gefunden.
>
> Die Matrix:
>
> 1 0 1 3
> 0 1 1 4
> 0 0 0 5
> 0 1 0 1
>
> Ich hab das Ergenis bekommen durch: S2 <-> S3 und dann
> S3-S4.
Meinst Du vielleicht S2 <-> S3 und dann Z3 <-> Z4 ?
> Das Ergebnis ist dann 1*1*(-5)*1 = -5.
Wie hast Du das berechnet?
> Aber müsste ich laut eurer Definition nicht noch *(-1)
> rechnen weil ich Spalten getauscht hab?
Ja, wenn Du eine ungerade Zahl von Vertauschungen vorgenommen hast.
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Also:
1 0 1 3
0 1 1 4
0 0 0 5
0 1 0 1
S2 <-> S3
1 1 0 3
0 1 1 4
0 0 0 5
0 0 1 1
S3-S4
1 1 -3 3
0 1 -3 4
0 0 -5 5
0 0 0 1
Und dann die Diagonale => -5
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> Ich hab jetzt einmal eine konkrete Aufgabe gefunden.
>
> Die Matrix:
>
> 1 0 1 3
> 0 1 1 4
> 0 0 0 5
> 0 1 0 1
Hallo,
war das die Startmatrix?
Die hat die Determinante 5.
Du mußt das Ergebnis (-5) ja noch durch (-1) dividieren, weil Du einmal Spalten getauscht hast.
Irgendwie ist das noch nicht klar: die Determinante, die Du am Ende erhältst, ist i.d.R. nicht die der Startmatirx, aber Du kannst aus der erhaltenen Determinante leicht die Det. der Startmatrix berechnen.
Gruß v, Angela
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:31 Do 20.11.2008 | | Autor: | Englein89 |
@Angela
DURCH -1? Ich dachte *(-1)? Gut, es kommt das gleiche raus, aber generell ist es doch bei Spalten und Zeilentausch, dass ich jeweils mit -1 multipliziere, right? Dh aber auch wenn ich 2 Mal was tausche muss ich nichts mehr machen, hab ich das jetzt richtig verstanden?
Das gleiche hab ich ja auch zB hier:
2 2 6
4 4 3
0 -3 5
Z2-2 Z1
2 2 6
0 0 -9
0 -3 5
S2 <-> S3
2 2 6
0 -3 5
0 0 -9 => 2 * -3 * -9= 54, demnach dann * (-1) wegen Zeilentauschs?
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> @Angela
> DURCH -1? Ich dachte *(-1)? Gut, es kommt das gleiche
> raus,
genau.
Ich dachte, Du kannst es Dir mit Dividieren besser merken, weil Du ja am Ende auch durch die Faktoren dividieren mußt, mit denen Du unterwegs multiplizierst.
> aber generell ist es doch bei Spalten und
> Zeilentausch, dass ich jeweils mit -1 multipliziere, right?
Da (-1)=1/(-1) braucht man sich deswegen keine grauen Haare wachsen zu lassen.
> Dh aber auch wenn ich 2 Mal was tausche muss ich nichts
> mehr machen, hab ich das jetzt richtig verstanden?
Ja.
Gruß v. Angela
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Ich glaube die Frage oben ist etwas untergegangen. Seid ihr euch sicher dass auch bei Zeilentausch das Vorzeichen geändert werden muss bei dem Ergebnis? Wir haben in der Übung einmal Zeilen getauscht, aber es wurde kein VZW gemacht.
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Dann war entweder Deine Vorlesung nicht sachgemäß oder die Akustik schlecht oder Deine Aufzeichnungen unleserlich, Deine Konzentration beeinträchtigt oder das Thema ein anderes.
Ja, wir sind sicher. Ich denke, das darf ich für alle Beteiligten sagen. Wenn nicht, werde ich Widerspruch ja kaum verhindern können.
Wenn Du Dir allerdings die Definition der Determinante einer quadratischen Matrix ansiehst, solltest Du merken, dass Du auf diesen Widerspruch nicht allzu sehr hoffen solltest.
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> Ich glaube die Frage oben ist etwas untergegangen. Seid ihr
> euch sicher dass auch bei Zeilentausch das Vorzeichen
> geändert werden muss bei dem Ergebnis?
Hallo,
so 'nen klein büschele schwermütig kann man da schon werden:
bis zu dieser Frage war in diesem Thread bereits viermal gesagt worden, daß das Vertauschen und Zeilen oder Spalten eine Multiplikation mit bzw. Division durch (-1) erfordert,
was schon stark darauf hindeutet, daß der reverend und ich uns sicher sind.
Wenn Du dem nicht traust solltest Du vielleicht lieber mal 5 schlaue Bücher zu Rate ziehen.
Denn was nützt es Dir, wenn wir zum fünften Male sagen: "wir sind uns sicher", und dann ist es doch falsch...
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:32 Sa 22.11.2008 | | Autor: | reverend |
Gutes Argument.
Vielleicht mag ja noch jemand sagen, dass er oder sie sicher ist. Machen wir eine Umfrage 
Ich bin mir jedenfalls sicher, dass ich mir sicher bin und dass Du, Angela, Dir inhaltlich ebenso sicher bist usw.
Na sicher, würde meine Tochter jetzt sagen. Aber nur die eine.
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> Na sicher, würde meine Tochter jetzt sagen. Aber nur die
> eine.
Hallo,
"Bist du dir sicher, daß..." fragt mein Mann mich immer, wenn er findet, daß ich etwas ganz Blödes getan habe. Ich mag' das nicht...
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:38 Sa 22.11.2008 | | Autor: | reverend |
Sag's ihm mal, wenn es gerade überhaupt keinen Anlass dafür gibt. Vielleicht hört er dann auf damit. 
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