erste Ableitung lin Wachstumsb < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:04 Do 07.02.2013 | | Autor: | vivo |
Hallo,
eine differenzierbare Funktion mit beschränkter erster Ableitung ist ja Lipschitzstetig.
Falls die erste Ableitung stetig und beschränkt ist, erfüllt die Funktion dann zusätzlich die lineare wachstumsbeschrankung
[mm] $|f(x)|\leq [/mm] K(1+|x|$
?
Vielen dank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:47 Do 07.02.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> eine differenzierbare Funktion mit beschränkter erster
> Ableitung ist ja Lipschitzstetig.
> Falls die erste Ableitung stetig und beschränkt ist,
> erfüllt die Funktion dann zusätzlich die lineare
> wachstumsbeschrankung
>
> [mm]|f(x)|\leq K(1+|x|[/mm]
Ja , das stimmt. Sei D der Def. Bereich von f. Da f' beschränkt ist auf D , ist f auf D Lipschitzstetig, also gilt mit einem L [mm] \ge [/mm] 0:
|f(x)-f(y)| [mm] \le [/mm] L|x-y| für alle x.y [mm] \in [/mm] D.
Sei [mm] y_0 \in [/mm] D fest.
Dann gilt für x [mm] \in [/mm] D:
[mm] $|f(x)|=|f(x)-f(y_0)+f(y_0)| \le |f(x)-f(y_0)| +|f(y_0)| \le L|x-y_0|+|f(y_0)| \le L|x|+L|y_0|+|f(y_0)|.$
[/mm]
K:= max [mm] \{ L, L|y_0|+|f(y_0)| \}
[/mm]
leistet das Verlangte.
FRED
>
> ?
>
> Vielen dank
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:00 Do 07.02.2013 | | Autor: | vivo |
Hallo,
Danke erstmal. Warum wird in den klassischen Existenz und EindeutigkeitSätzen von z.b. Sdgl die lipschitzstetigkeit und zusätzlich die lineare wachstumsbeschrankung beides bezüglich der raumvariable, wenn das eine sowieso aus dem anderen folgt. Ich übersehe scheinbar etwas grundlegendes.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:08 Do 07.02.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> Danke erstmal. Warum wird in den klassischen Existenz und
> EindeutigkeitSätzen von z.b. Sdgl die lipschitzstetigkeit
> und zusätzlich die lineare wachstumsbeschrankung beides
> bezüglich der raumvariable, wenn das eine sowieso aus dem
> anderen folgt. Ich übersehe scheinbar etwas
> grundlegendes.
Schreib mal solch einen Satz hier rein. Dann wissen wir, worüber wir reden.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:46 Fr 08.02.2013 | | Autor: | vivo |
Hallo,
z.B. der hier:
Seien [mm]T > 0[/mm] und
[mm]\mu: \IR \time [0,T] \to \IR [/mm] und
[mm]\sigma: \IR \time [0,T] \to \IR [/mm]
messbare Funktionen und es existieren Konstanten [mm]C[/mm] und [mm]D[/mm], so dass
[mm]|\mu(x,t)-\mu(y,t)|+|\sigma(x,t)-\sigma(y,t)| \leq D|x-y|[/mm] (I)
und
[mm]|\mu(x,t)|+|\sigma(x,t)| \leq C(1+|x|)[/mm] (II)
für alle [mm]t \in [0,T][/mm] und alle [mm]x,y \in \IR[/mm]
dann hat die stochastische Differentialgleichung eine
[mm]dX_t = \mu(X_t,t)dt+\sigma(X_t,t)dB_t, ~ t \in [0,T], ~ X_0=x[/mm]
eine eindeutige starke Lösung.
Die Bedingung (II) müsste doch nach obigen Beiträgen aus der Bedingung (I) folgen.
Vielen Dank
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:12 Fr 08.02.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> z.B. der hier:
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> Seien [mm]T > 0[/mm] und
> [mm]\mu: \IR \time [0,T] \to \IR[/mm] und
> [mm]\sigma: \IR \time [0,T] \to \IR[/mm]
> messbare Funktionen und es existieren Konstanten [mm]C[/mm] und [mm]D[/mm],
> so dass
>
> [mm]|\mu(x,t)-\mu(y,t)|+|\sigma(x,t)-\sigma(y,t)| \leq D|x-y|[/mm]
> (I)
> und
> [mm]|\mu(x,t)|+|\sigma(x,t)| \leq C(1+|x|)[/mm] (II)
>
> für alle [mm]t \in [0,T][/mm] und alle [mm]x,y \in \IR[/mm]
>
> dann hat die stochastische Differentialgleichung eine
> [mm]dX_t = \mu(X_t,t)dt+\sigma(X_t,t)dB_t, ~ t \in [0,T], ~ X_0=x[/mm]
>
> eine eindeutige starke Lösung.
>
> Die Bedingung (II) müsste doch nach obigen Beiträgen aus
> der Bedingung (I) folgen.
Nein.
Fangen wir mal so an , wie ich es oben gemacht habe ( ich betrachte nur [mm] \mu)
[/mm]
[mm] |\mu(x,t)|= |\mu(x,t)-\mu(y_0,t)+\mu(y_0,t)| \le |\mu(x,t)-\mu(y_0,t)|+|\mu(y_0,t)| \le D|x-y_0|+|\mu(y_0,t)| \le D|x|+D|y_0|+|\mu(y_0,t)| [/mm] .
Jetzt siehst Du vielleicht, wo es klemmt: der letzte Summand rechts, also [mm] |\mu(y_0,t)| [/mm] sollte unabhängig von t sein, wenn man so weitermachen will, wie ich es oben gemacht habe.
Nun könnte man auf die Idee kommen mit [mm] |\mu(y_0,t_0)| [/mm] anzufangen, also
[mm] |\mu(x,t)|= |\mu(x,t)-\mu(y_0,t_0)+\mu(y_0,t_0)| [/mm] .....
Das bringt aber nix, weil ich jetzt nicht mehr die Lipschitzstetigkeit von [mm] \mu [/mm] bezgl. der ersten Variable verbraten kann.
FRED
>
> Vielen Dank
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:32 Fr 08.02.2013 | | Autor: | vivo |
Hallo,
Oh! Stimmt. Aber es folgt falls [mm] $\mu$ [/mm] in t beschränkt ist, richtig?
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:58 Fr 08.02.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> Oh! Stimmt. Aber es folgt falls [mm]\mu[/mm] in t beschränkt ist,
> richtig?
Ja
FRED
>
> Danke
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