erwartungstreuer Schätzer < Statistik (Anwend.) < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:47 Di 18.05.2010 | | Autor: | simplify |
| Aufgabe | | Man betrachtet alle Gleichverteilungen auf Mengen der Form {b, b+1, b+2}. Es wird zweimal abgefragt: [mm] x_{1},x_{2}. [/mm] Finden Sie einen erwartungstreuen stochastischen Schätzer für b und rechnen Sie seine Varianz aus.( Der Wert soll möglichst minimal werden) |
Hallo Ihr,
ich habe bei der Aufgabe schon mal etwas rumprobiert,aber so recht mag ich da nicht weiterkommen.
Ich dachte mir,dass ich doch so eine Art Gleichungssystem für die möglichen Fälle aufstellen kann um den Schätzer zu bestimmen.Ungefähr so:
1. d(b) 1/3 + d(b+1) 1/3 = 3b
2. d(b) 1/3 + d(b+2) 1/3 = 3b
3. d(b+1) 1/3 + d(b+2) 1/3 = 3b
wenn ich dieses Gleichungssystem löse erhalte ich aber d(b)=d(b+1)=d(b+2) ,was mir ja nicht wirklich etwas bringt.
Kann mir vielleicht Jemand helfen, eventuell auch ruhig sagen,wenn ich auf dem Holzweg bin? Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:38 Di 18.05.2010 | | Autor: | luis52 |
Moin,
was gilt fuer das arithmetische Mittel [mm] $(X_1+X_2)/2$?
[/mm]
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:53 Di 18.05.2010 | | Autor: | simplify |
Du meinst,dass man [mm] x_{1}+x_{2}/2 [/mm] als erwartungstreuen schätzer verwenden kann?!?
ich vertsehe, dass das stichprobenmittel erwartungstreu ist, aber angenommen, [mm] x_{1}=b,x_{2}=b+1 [/mm] , dann ergibt sich doch:
[mm] \bruch{2b+1}{2} [/mm] = b+1/2
und ich dachte es muss b rauskommen????
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:22 Di 18.05.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
> Du meinst,dass man [mm]x_{1}+x_{2}/2[/mm] als erwartungstreuen
> schätzer verwenden kann?!?
Nein, er meint, daß Du den Erwartungswert von [mm] $\frac{X_1+X_2}{2} [/mm] ausrechnen sollst.
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:33 Di 18.05.2010 | | Autor: | simplify |
naja der erwartungswert wäre doch dann
[mm] \bruch{E(x_{1}+x_{2})}{2} [/mm] = [mm] E(x_{1})/2 [/mm] + [mm] E(x_{2})/2 [/mm] da das Stichprobenmittel auch ein erwartungstreuer Schätzer ist, allerdings versteh ich nicht wie ich jetzt explizit den Erwartungswert bezogen auf unseren Fall ausrechnen soll??
Soll man dann einfach die Elemente aus der Menge {b, b+1, b+2} für [mm] x_{i} [/mm] einsetzen??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:04 Di 18.05.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
1. [mm] $x_1$ [/mm] und [mm] $x_2$ [/mm] sind Zahlen. Nämlich Deine tatsächlichen Ergebnisse. Da es zufällige Ziehungen sind, sind [mm] $x_1$ [/mm] und [mm] $x_2$ [/mm] Ausprägungen von Zufallsvariablen.
2. [mm] $X_1$ [/mm] und [mm] $X_2$ [/mm] sind diese Zufallsvariablen. Diese haben eine Verteilung und einen (nicht-trivialen) Erwartungswert, der von der Verteilung abhängt.
Wir wollen, daß Du [mm] E(X_1) [/mm] berechnest.
Wenn ich einen k-seitigen fairen Würfel habe, und Y ist ein Wurf, dann ist [mm] $E(Y)=\frac{k+1}{2}$. [/mm] Wenn ich jetzt zweimal werfe, und ich kriege 2 und 5, dann ist E(Y) immer noch [mm] $\frac{k+1}{2}$, [/mm] weil der Erwartungswert des Würfelwurfs eine theoretische Größe ist, die sich aus der Verteilung der Zufallsvariablen ergibt. Ich kann die tatsächlichen Ergebnisse jetzt verwenden, um den Parameter k zu schätzen, aber der Erwartungswert ist trotzdem [mm] $E(Y)=\frac{k+1}{2}$
[/mm]
> das Stichprobenmittel auch ein erwartungstreuer Schätzer ist
Das Stichprobenmittel ist ein erwartungstreuer Schätzer *für den Erwartungswert*. In dem Würfelbeispiel ist es kein erwartungstreuer Schätzer für den Parameter k, weil k nicht der Erwartungswert ist. Bei Dir ist es auch kein erwartungstreuer Schätzer für b, weil b nicht der Erwartungswert ist.
Also nochmal: Was ist der Erwartungswert Deiner auf [mm] $\{b,b+1,b+2\}$ [/mm] gleichverteilten Zufallsvariablen.
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:35 Di 18.05.2010 | | Autor: | simplify |
sorry.....und vielen dank für deine schnellen antworten!
also ich hätte jetzt folgendes behauptet:
der erwartungswert meiner auf {b,b+1,b+2} gleichverteilten zufallsvariable X ist :
[mm] E(X)=\summe_{i=1}^{3}x_{i}*p_{i}= x_{1}p_{1}+x_{2}*p_{2}+x_{3}*p_{3}=(da [/mm] alle [mm] p_{i}=\bruch{1}{3})=\bruch{1}{3}*(b+b+1+b+2)=\bruch{3b+3}{3}=b+1
[/mm]
oder wie in deinem beispiel: [mm] E(X)=\bruch{(b+2)-b}{2}=\bruch{2b+2}{2}=b+1
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:54 Di 18.05.2010 | | Autor: | Blech |
> sorry.....und vielen dank für deine schnellen antworten!
> also ich hätte jetzt folgendes behauptet:
> der erwartungswert meiner auf {b,b+1,b+2} gleichverteilten
> zufallsvariable X ist :
> [mm]E(X)=\summe_{i=1}^{3}x_{i}*p_{i}= x_{1}p_{1}+x_{2}*p_{2}+x_{3}*p_{3}=(da[/mm]
> alle
> [mm]p_{i}=\bruch{1}{3})=\bruch{1}{3}*(b+b+1+b+2)=\bruch{3b+3}{3}=b+1[/mm]
Richtig.
Du weißt, daß X den Erwartungswert b+1 hat. Dann ist doch $E(X-1)=b$. Das heißt, wenn Du einmal ziehst und es kommt x raus (sagen wir 14), dann ist x-1 (also 13) ein erwartungstreuer Schätzer für b.
Jetzt ziehst Du zweimal. Die Ziehungen sind die Zufallsvariablen [mm] $X_1$ [/mm] und [mm] $X_2$. [/mm] Du willst die beiden jetzt so in eine Funktion [mm] f(X_1,X_2) [/mm] wurschteln, daß
1. [mm] $E(\, f(X_1,X_2)\, [/mm] )=b$
2. Die Varianz "möglichst gering" ist (sieh das nur mit gesundem Menschenverstand. Wie wir gerade gesehen haben, wäre [mm] $f(X_1,X_2):=X_1-1$ [/mm] erwartungstreu. Aber offensichtlich ist es ein schlechter Schätzer, weil wir das Ergebnis der Ziehung [mm] $X_2$ [/mm] völlig ignorieren. Die Bedingung sagt also nur, daß in dem Schätzer sowohl [mm] $X_1$ [/mm] als auch [mm] $X_2$ [/mm] auftauchen sollen.
Das Stichprobenmittel bietet sich für einen Versuch immer an, wenn der zu schätzende Parameter irgendwas mit dem Erwartungswert zu tun hat:
[mm] $E\left(\frac{X_1+X_2}{2}\right)=b+1$
[/mm]
Man muß nur dann nach dem Parameter auflösen:
[mm] $E\left(\frac{X_1+X_2}{2}-1\right)=b$
[/mm]
ciao
Stefan
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