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(edit: Tippfehler in der ersten Matrix berichtigt, thx @ Al)
moin,
Ich bin eben über das sogenannte "erweiterte Gauß-Jordan-Verfahren" gestolpert.
Leider steht das da nur an einem Beispiel:
Sei
[mm] $\pmat{ 1 & 2 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0}$
[/mm]
die erweiterte Matrix eines LGS nach beendetem Gauß-Jordan Verfahren.
Dann kriegt man auf folgendem Weg alle Lösungen:
1. Streiche Nullzeilen und füge welche hinzu, sodass sich eine $3 [mm] \times [/mm] 4$-Matrix ergibt, bei der alle Zeilenstufenanfänge auf der Hauptdiagonalen stehen.
daraus ergibt sich folgende Matrix:
[mm] $\pmat{ 1 & 2 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1
}$
[/mm]
2. Subtrahiere auf der Hauptdiagonalen jeweils eine 1.
führt zu folgender Matrix:
[mm] $\pmat{ 0 & 2 & 0 & -1 \\
0 & -1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
}$
[/mm]
3. Streiche alle Nullspalten.
führt zu:
[mm] $\pmat{ 2 & -1 \\ -1 & 0 \\ 0 & 1}$
[/mm]
Dies ist dann die Lösungsmenge des LGS, es ist also
[mm] $\{ \vektor{2t - 1 \\ -t \\ 1} | t \in \IR \}$
[/mm]
die Lösungsmenge des LGS.
Allerdings ist mein Problem (ja, davon hab ich auch noch eins, das ist nicht nur Geschichtsstunde hier xD), dass das ganze eben nur an einem einzigen Beispiel gegeben ist und keine allgemeine Definitionen geschweige denn ein Korrektheitsbeweis oder so dabei stehen.
Ich sehe zwar ein, dass hier auf diese Art die richtige Lösung rauskommt, aber wieso und vor allem wieso das allgemein so ist will sich mir noch nicht ganz erschließen...
bzw. für LGS werde ich das wohl nicht benutzen, aber für Kerne vielleicht.
Deshalb gleich noch eine Frage:
Kann man aus dem obigen Verfahren folgern:
Ist A eine $n [mm] \times [/mm] n$-Matrix in reduzierter Zeilenstufenform, bei der alle Zeilenstufenanfänge auf der Hauptdiagonalen stehen, so ist:
Kern(A) = A - [mm] $E_n$
[/mm]
[mm] ($E_n$ [/mm] die $n [mm] \times [/mm] n$ Einheitsmatrix)
Das könnte nämlich unter Umständen durchaus praktisch sein.^^
Ich hoffe anders als bei google gibts hier jemanden, der das kennt und mir das kurz erklären kann.
thx
Schadowmaster
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> moin,
>
> Ich bin eben über das sogenannte "erweiterte
> Gauß-Jordan-Verfahren" gestolpert.
> Leider steht das da nur an einem Beispiel:
> Sei
> [mm]$\pmat{ 1 & 2 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0}$[/mm]
>
> die erweiterte Matrix eines LGS nach beendetem Gauß-Jordan
> Verfahren.
> Dann kriegt man auf folgendem Weg alle Lösungen:
> 1. Streiche Nullzeilen und füge welche hinzu, sodass sich
> eine [mm]3 \times 4[/mm]-Matrix ergibt, bei der alle
> Zeilenstufenanfänge auf der Hauptdiagonalen stehen.
> daraus ergibt sich folgende Matrix:
> [mm]$\pmat{ 1 & 2 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1
}$[/mm]
>
> 2. Subtrahiere auf der Hauptdiagonalen jeweils eine 1.
> führt zu folgender Matrix:
> [mm]$\pmat{ 0 & 2 & 0 & -1 \\
0 & -1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
}$[/mm]
>
> 3. Streiche alle Nullspalten.
> führt zu:
> [mm]\pmat{ 2 & -1 \\ -1 & 0 \\ 0 & 1}[/mm]
>
> Dies ist dann die Lösungsmenge des LGS, es ist also
> [mm]\{ \vektor{2t - 1 \\ -t \\ 1} | t \in \IR \}[/mm]
> die
> Lösungsmenge des LGS.
>
>
> Allerdings ist mein Problem (ja, davon hab ich auch noch
> eins, das ist nicht nur Geschichtsstunde hier xD), dass das
> ganze eben nur an einem einzigen Beispiel gegeben ist und
> keine allgemeine Definitionen geschweige denn ein
> Korrektheitsbeweis oder so dabei stehen.
> Ich sehe zwar ein, dass hier auf diese Art die richtige
> Lösung rauskommt, aber wieso und vor allem wieso das
> allgemein so ist will sich mir noch nicht ganz
> erschließen...
>
> bzw. für LGS werde ich das wohl nicht benutzen, aber für
> Kerne vielleicht.
> Deshalb gleich noch eine Frage:
>
> Kann man aus dem obigen Verfahren folgern:
> Ist A eine [mm]n \times n[/mm]-Matrix in reduzierter
> Zeilenstufenform, bei der alle Zeilenstufenanfänge auf der
> Hauptdiagonalen stehen, so ist:
> Kern(A) = A - [mm]E_n[/mm]
> ([mm]E_n[/mm] die [mm]n \times n[/mm] Einheitsmatrix)
> Das könnte nämlich unter Umständen durchaus praktisch
> sein.^^
>
> Ich hoffe anders als bei google gibts hier jemanden, der
> das kennt und mir das kurz erklären kann.
>
> thx
>
> Schadowmaster
Hallo Schadowmaster,
stimmen die obigen Matrizen überhaupt ?
So wie ich es sehe, kann das System der ersten Matrix
gar keine Lösungen haben wegen der darin vorkommenden
Zeile [mm] \pmat{0&0&0&1} [/mm] . Also würde sich eine weitere Suche
nach Lösungen erübrigen.
Ferner kann ich nicht nachvollziehen, wie aus dieser
Matrix dann durch die Beschreibung
. " 1. Streiche Nullzeilen und füge welche hinzu,
. sodass sich eine [mm]3 \times 4[/mm]-Matrix ergibt, bei der alle
. Zeilenstufenanfänge auf der Hauptdiagonalen stehen "
die nächste Matrix werden soll.
LG Al-Chw.
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> Hallo Schadowmaster,
>
> stimmen die obigen Matrizen überhaupt ?
>
> So wie ich es sehe, kann das System der ersten Matrix
> gar keine Lösungen haben wegen der darin vorkommenden
> Zeile [mm]\pmat{0&0&0&1}[/mm] . Also würde sich eine weitere
> Suche nach Lösungen erübrigen.
ups, hast Recht, da hab ich mich vertippt.^^
[mm] $\pmat{ 1 & 2 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0}$
[/mm]
so gehört die Matrix.
>
> Ferner kann ich nicht nachvollziehen, wie aus dieser
> Matrix dann durch die Beschreibung
>
> . " 1. Streiche Nullzeilen und füge welche hinzu,
> . sodass sich eine [mm]3 \times 4[/mm]-Matrix ergibt, bei der
> alle
> . Zeilenstufenanfänge auf der Hauptdiagonalen stehen
> "
>
> die nächste Matrix werden soll.
hoffe mit der berichtigten ersten Matrix ist das jetzt klar.
> LG Al-Chw.
MfG
Schadow
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> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0}[/mm]
>
> so gehört die Matrix.
Aha - so sieht's plötzlich ganz anders aus, und
die Lösung stimmt jedenfalls.
Das könnte doch dann ganz praktikabel sein und
auch gut in ein Programm zu verpacken !
Wenn ich Zeit finde, schau ich mir das näher an.
LG Al
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> (edit: Tippfehler in der ersten Matrix berichtigt, thx @
> Al)
>
>
>
> moin,
>
> Ich bin eben über das sogenannte "erweiterte
> Gauß-Jordan-Verfahren" gestolpert.
> Leider steht das da nur an einem Beispiel:
> Sei
> [mm]$\pmat{ 1 & 2 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0}$[/mm]
>
> die erweiterte Matrix eines LGS nach beendetem Gauß-Jordan
> Verfahren.
> Dann kriegt man auf folgendem Weg alle Lösungen:
> 1. Streiche Nullzeilen und füge welche hinzu, sodass sich
> eine [mm]3 \times 4[/mm]-Matrix ergibt, bei der alle
> Zeilenstufenanfänge auf der Hauptdiagonalen stehen.
> daraus ergibt sich folgende Matrix:
> [mm]$\pmat{ 1 & 2 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1 }$[/mm]
Hallo,
das Verfahren, welches Du beschreibst, ist der "-1-Trick".
Der reduzierten ZSF entnehmen wir, daß wir [mm] x_2 [/mm] frei wählen dürfen, normalerweise wählen wir [mm] x_2:=t, [/mm] und damit bekommen wir
[mm] x_2=t
[/mm]
[mm] x_1=-1-2t
[/mm]
[mm] x_3=1,
[/mm]
also ist [mm] \vec{x}=\vektor{-1-2t\\t\\1}=\vektor{-1\\0\\1}+t*\vektor{-2\\1\\0}.
[/mm]
Aber niemand hindert uns daran, [mm] x_2=-t [/mm] zu wählen, und wenn Du das durchziehst, hast Du
[mm] x_2=-t
[/mm]
[mm] x_1=-1+2t
[/mm]
[mm] x_3=1,
[/mm]
und [mm] \vec{x}=\vektor{-1+2t\\-t\\1}=\vektor{-1\\0\\1}+t*\vektor{2\\-1\\0}.
[/mm]
Das sind genau die Spalten des -1-Tricks.
Gruß v. Angela
>
> 2. Subtrahiere auf der Hauptdiagonalen jeweils eine 1.
> führt zu folgender Matrix:
> [mm]$\pmat{ 0 & 2 & 0 & -1 \\
0 & -1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 }$[/mm]
>
> 3. Streiche alle Nullspalten.
> führt zu:
> [mm]\pmat{ 2 & -1 \\
-1 & 0 \\
0 & 1}[/mm]
>
> Dies ist dann die Lösungsmenge des LGS, es ist also
> [mm]\{ \vektor{2t - 1 \\
-t \\
1} | t \in \IR \}[/mm]
> die
> Lösungsmenge des LGS.
>
>
> Allerdings ist mein Problem (ja, davon hab ich auch noch
> eins, das ist nicht nur Geschichtsstunde hier xD), dass das
> ganze eben nur an einem einzigen Beispiel gegeben ist und
> keine allgemeine Definitionen geschweige denn ein
> Korrektheitsbeweis oder so dabei stehen.
> Ich sehe zwar ein, dass hier auf diese Art die richtige
> Lösung rauskommt, aber wieso und vor allem wieso das
> allgemein so ist will sich mir noch nicht ganz
> erschließen...
>
> bzw. für LGS werde ich das wohl nicht benutzen, aber für
> Kerne vielleicht.
> Deshalb gleich noch eine Frage:
>
> Kann man aus dem obigen Verfahren folgern:
> Ist A eine [mm]n \times n[/mm]-Matrix in reduzierter
> Zeilenstufenform, bei der alle Zeilenstufenanfänge auf der
> Hauptdiagonalen stehen, so ist:
> Kern(A) = A - [mm]E_n[/mm]
> ([mm]E_n[/mm] die [mm]n \times n[/mm] Einheitsmatrix)
> Das könnte nämlich unter Umständen durchaus praktisch
> sein.^^
>
> Ich hoffe anders als bei google gibts hier jemanden, der
> das kennt und mir das kurz erklären kann.
>
> thx
>
> Schadowmaster
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