erweiterungskörper < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei $L [mm] \mid [/mm] K$ eine Körpererweiterung und $0 [mm] \neq \alpha \in [/mm] L$ algebraisch über $K$.
Weiterhin habe das Minimalpolynom [mm] $\mu_{\alpha}$ [/mm] den Grad $n [mm] \in \IN$ [/mm] und $n$ sei ungerade.
Zeige, dass dann [mm] $K[\alpha] [/mm] = [mm] K[\alpha^2]$ [/mm] gilt. |
moin,
Diese Aufgabe macht mir grad ein paar Probleme.
Die eine Richtung ist klar, denn [mm] $\alpha^2 \in K[\alpha]$, [/mm] aber die Rückrichtung kriege ich leider nicht hin.
Ich habe da schon versucht das Minimalpolynom zu faktorisieren oder [mm] $\alpha$ [/mm] irgendwie als Linearkombination der Potenzen von [mm] $\alpha^2$ [/mm] zu schreiben, aber leider ist mir da nichts brauchbares eingefallen.
Ein paar Tipps wären von daher ganz nett.
Danke schonmal.
lg
Schadow
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:57 So 03.06.2012 | | Autor: | felixf |
Moin Schadow!
> Sei [mm]L \mid K[/mm] eine Körpererweiterung und [mm]0 \neq \alpha \in L[/mm]
> algebraisch über [mm]K[/mm].
> Weiterhin habe das Minimalpolynom [mm]\mu_{\alpha}[/mm] den Grad [mm]n \in \IN[/mm]
> und [mm]n[/mm] sei ungerade.
> Zeige, dass dann [mm]K[\alpha] = K[\alpha^2][/mm] gilt.
>
> Diese Aufgabe macht mir grad ein paar Probleme.
> Die eine Richtung ist klar, denn [mm]\alpha^2 \in K[\alpha][/mm],
> aber die Rückrichtung kriege ich leider nicht hin.
> Ich habe da schon versucht das Minimalpolynom zu
> faktorisieren oder [mm]\alpha[/mm] irgendwie als Linearkombination
> der Potenzen von [mm]\alpha^2[/mm] zu schreiben, aber leider ist mir
> da nichts brauchbares eingefallen.
> Ein paar Tipps wären von daher ganz nett.
Es gilt $K [mm] \subseteq K[\alpha^2] \subseteq K[\alpha]$. [/mm] Der Grad von [mm] $K[\alpha]$ [/mm] ueber $K$ ist [mm] $\deg \mu_\alpha$.
[/mm]
Was sagt das ueber den Grad [mm] $[K[\alpha] [/mm] : [mm] K[\alpha^2]]$ [/mm] aus? Was kann dieser ueberhaupt sein?
LG Felix
|
|
|
| |
|
Es muss Grad $ [mm] [K[\alpha] [/mm] : [mm] K[\alpha^2]] [/mm] $ ein Teiler von [mm] $\deg \mu_{\alpha}$ [/mm] sein.
Da [mm] $x^2-\alpha^2 \in K[\alpha^2][x]$ [/mm] als Nullstelle [mm] $\alpha$ [/mm] hat, ist der Grad überdies höchstens 2.
Da [mm] $\deg \mu_{\alpha}$ [/mm] ungerade ist, muss der Grad 1 sein, also [mm] $K[\alpha] [/mm] = [mm] K[\alpha^2]$.
[/mm]
Danke. ;)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:25 So 03.06.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Es muss Grad [mm][K[\alpha] : K[\alpha^2]][/mm] ein Teiler von [mm]\deg \mu_{\alpha}[/mm]
> sein.
> Da [mm]x^2-\alpha^2 \in K[\alpha^2][x][/mm] als Nullstelle [mm]\alpha[/mm]
> hat, ist der Grad überdies höchstens 2.
> Da [mm]\deg \mu_{\alpha}[/mm] ungerade ist, muss der Grad 1 sein,
> also [mm]K[\alpha] = K[\alpha^2][/mm].
Genau.
> Danke. ;)
Bitte :)
LG Felix
|
|
|
|
