euklid. Normalform Transf. < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Gegeben sei [mm] A=\bruch{1}{4}\pmat{ 3 & \wurzel{6} & 1 \\ -\wurzel{6} & 2 & \wurzel{6} \\ 1 & -\wurzel{6} & 3} \in \IR^{3x3}
[/mm]
a) Zeigen sie, dass die Matrix orthogonal ist.
b) Bestimmen sie die euklid. Normalform  von A.
c) Bestimmen sie eine orthogonale Matrix S [mm] \in [/mm] O(3), so dass S^TAS=Â gilt. |
Hallo,
ich komme hier bei der Aufgabe c) nicht weiter.
Bei der a) gilt [mm] A*A^T=I_3, [/mm] also ist A orthogonal
bei der b) habe ich den Trick mit [mm] B:=A+A^T [/mm] (char. Poly [mm] =(x-2)*(x-1)^2) [/mm] angewandt und komme auf [mm] Â=\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0.5 & - \wurzel{3}*0.5 \\ 0
& \wurzel{3}*0.5 & 0.5}.
[/mm]
Bei der c) brauche ich ja eine Orthonormalbasis.
Also nehme ich einen Eigenvektor von [mm] (B-2I_3) [/mm] suche.
z.B [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1} [/mm] := [mm] w_1
[/mm]
Jetzt muss ich das Gram-Schmidt Verfahren darauf anwenden um am Ende noch alle gefunden Vektoren normalisieren.
Ich dachte eigentlich ich verstehe wie das geht, aber irgendwie doch nicht.
Ich nehme doch dann einen linear unabhängigen Vektor zu [mm] w_1, [/mm] z.b. [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0}=:w_2
[/mm]
und mache [mm] w_2-\bruch{}{}*w_1
[/mm]
und dann nochmal mit einem weiteren linear unabhängigen Vektor. Nur leider komme ich nicht auf das richtige Ergebnis, was muss ich anders machen?
Vielen Dank!
|
|
| |
|
Hallo RunOrVeith,
> Gegeben sei [mm]A=\bruch{1}{4}\pmat{ 3 & \wurzel{6} & 1 \\ -\wurzel{6} & 2 & \wurzel{6} \\ 1 & -\wurzel{6} & 3} \in \IR^{3x3}[/mm]
>
> a) Zeigen sie, dass die Matrix orthogonal ist.
> b) Bestimmen sie die euklid. Normalform  von A.
> c) Bestimmen sie eine orthogonale Matrix S [mm]\in[/mm] O(3), so
> dass S^TAS=Â gilt.
> Hallo,
> ich komme hier bei der Aufgabe c) nicht weiter.
> Bei der a) gilt [mm]A*A^T=I_3,[/mm] also ist A orthogonal
> bei der b) habe ich den Trick mit [mm]B:=A+A^T[/mm] (char. Poly
> [mm]=(x-2)*(x-1)^2)[/mm] angewandt und komme auf [mm]Â=\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0.5 & - \wurzel{3}*0.5 \\ 0
& \wurzel{3}*0.5 & 0.5}.[/mm]
>
> Bei der c) brauche ich ja eine Orthonormalbasis.
> Also nehme ich einen Eigenvektor von [mm](B-2I_3)[/mm] suche.
> z.B [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 1}[/mm] := [mm]w_1[/mm]
> Jetzt muss ich das Gram-Schmidt Verfahren darauf anwenden
> um am Ende noch alle gefunden Vektoren normalisieren.
> Ich dachte eigentlich ich verstehe wie das geht, aber
> irgendwie doch nicht.
> Ich nehme doch dann einen linear unabhängigen Vektor zu
> [mm]w_1,[/mm] z.b. [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 0}=:w_2[/mm]
> und mache
> [mm]w_2-\bruch{}{}*w_1[/mm]
> und dann nochmal mit einem weiteren linear unabhängigen
> Vektor. Nur leider komme ich nicht auf das richtige
> Ergebnis, was muss ich anders machen?
>
Poste dazu Deine bisherigen Rechenschritte
inklusive des gewünschten Ergebnisses.
Im übrigen ist [mm]=0[/mm].
> Vielen Dank!
Gruss
MathePower
|
|
|
|
