euklidischer VR < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:13 Sa 07.07.2007 | | Autor: | Zerwas |
| Aufgabe | Sei V = [mm] \IK^4, [/mm] W [mm] :={x\in V | x_1 + x_2 + x_3 = 0} [/mm] und
<x, y>= [mm] −x_1 y_2 [/mm] − [mm] x_2 y_1 [/mm] + [mm] x_3 y_3 [/mm] + [mm] x_4 y_4 [/mm] .
(a) Prüfen Sie, ob V und W bezüglich < , > euklidische [mm] (\IK [/mm] = [mm] \IR) [/mm] oder unitäre [mm] (\IK [/mm] = [mm] \IC) [/mm] Vektorräume sind.
(b) Bestimmen Sie mittels des Gram-Schmidtschen Orthogonalisierungsverfahrens im Falle [mm] \IK [/mm] = [mm] \IR [/mm] ausgehend von [mm] w_1 [/mm] := (1,−1, 0, [mm] 0)^T, w_2 [/mm] := (1, 0,−1, [mm] 0)^T, w_3 [/mm] := (1, 1,−2, [mm] 1)^T [/mm] eine Orthonormalbasis von W. |
Wie überprüfe ich ob die gegebenen Eigenschaften einen euklidischen bzw. Unitären VR bilden? Also welche Eigenschaften muss ich überprüfen? Einfach nur die Standartsachen wie Nullenement, Einselement, inverse? oder noch mehr?
Muss ich dann bei der (b) um [mm] ||w_i|| [/mm] , [mm] i\in [/mm] {1,2,3} zu bestimmen das wie oben definierte Skalarprodukt [mm] [/mm] nehmen?
Gruß Zerwas
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Hallo Zerwas,
dass V und W Vektorräume sind, kann man so glauben.
Ich denke, worauf es ankommt, ist zu zeigen, dass die oben definierte
Bilinearform die Eigenschaften eines Skalarproduktes erfüllt, also
positiv definit und symmetrisch bzw. im komplexen Fall hermitesch ist.
Bei (b) musst du natürlich für die Orthogonalisierung das oben definierte
Skalarprodukt zugrunde legen
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:06 So 08.07.2007 | | Autor: | Zerwas |
Erstmal eine kleine Korrektur: [mm] =-\bar x_1y_2-\bar x_2y_1+\bar x_3y_3+\bar x_4y_4
[/mm]
Diese Bilinearform muss also zuerst positiv definit sein.
Wie zeige ich das?
Ich weiß dass [mm] x_1+x_2+x_3=0 [/mm] also auch [mm] \bar x_1+\bar x_2+\bar x_3=0
[/mm]
und dass [mm] y_1+y_2+y_3=0 [/mm] kann ich dann sagen dass [mm] -\bar x_1y_2-\bar x_2y_1+\bar x_3y_3 [/mm] auf jedenfall [mm] \ge [/mm] 0 ist .. und wenn ja warum?
Dann muss die Bilinearform auch symetrisch bzw. hermitisch sein:
Es reicht zz. dass die Form hermitisch ist der reelle fall lässt sich dann daraus erschließen:
Es muss also gelten:
(1) <x, a*y+z>=a<x,y>+<x,z>
(2) [mm]
(3) [mm] \langle x,y\rangle [/mm] = [mm] \overline{\langle y, x \rangle}
[/mm]
D.h. rechen:
(1) zz: <x,a*y+z>=a<x,y>+<x,z>
<x, [mm] a*y+z>=-\bar x_1*(a*y_2+z_2)-\bar x_2*(a*y_1+z_1)+\bar x_3*(a*y_3+z_3)+\bar x_4*(a*y_4+z_4)=...(ausmultiplizieren [/mm] und wieder zsm fassen)...=a<x,y>+<x,z>
(2) zz: [mm]
[mm] =-\overline{a*x_1+y_1}*z_2-\overline{a*x_2+ y_2}*z_1+\overline{a*x_3+y_3}*z_3+\overline{a*x_4*y_4}*z_4=_ [/mm] wieder ausmult und zsm fassen = [mm] \overline{a} [/mm] < x, z >+< y, z >
(3)zz: [mm] \langle x,y\rangle [/mm] = [mm] \overline{\langle y, x \rangle}
[/mm]
[mm] =-\bar x_1y_2-\bar x_2y_1+\bar x_3y_3+\bar x_4y_4 [/mm] ... wie forme ich hier um ???
dann Aufgabenteil (b)
Gram schmidt:
[mm] |w_1|==(-1)*(-1)+1*1=2
[/mm]
[mm] u_1=\bruch{w_1}{|w_1|}=\pmat{\bruch{1}{2}\\ \bruch{-1}{2} \\ 0 \\ 0 }
[/mm]
[mm] u_2'=w_2-*u_1=\pmat{1\\0\\-1\\0}-\bruch{1}{2}*\pmat{\bruch{1}{2}\\ \bruch{-1}{2} \\ 0 \\ 0 }=\pmat{\bruch{3}{4}\\ \bruch{1}{4} \\ -1 \\ 0}
[/mm]
Jetzt sollte ja wenn ich [mm] [/mm] bilde 0 heraus kommen ... es ist aber [mm] =-\bruch{1}{2}*\bruch{1}{4}-\bruch{-1}{2}*\bruch{3}{4}+0*(-1)+0*0=-\bruch{1}{8}+\bruch{3}{8}\not= [/mm] 0 ... aber wo ist mein fehler???
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Hallo Zerwas,
erstmal ne Teilantwort zu Teil (a), das mit Gram-Schmidz schaue ich mir nachher an... 
Also ich lass mal die Überprüfung, dass [mm] \langle ,\rangle [/mm] eine BLF ist, außen vor, das wirst du schon richtig berechnet haben
zur (hermit.) Symmetrie:
Du hast einerseits für [mm] $x,y\in\IC^4$ [/mm] mit [mm] $x=\vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4}, y=\vektor{y_1\\y_2\\y_3\\y_4}$:
[/mm]
[mm] \langle x,y\rangle=-\bar x_1y_2-\bar x_2y_1+\bar x_3y_3+\bar x_4y_4
[/mm]
Andererseits ist dann:
[mm] \langle y,x\rangle=-\bar y_1x_2-\bar y_2x_1+\bar y_3x_3+\bar y_4x_4
[/mm]
Und damit: [mm] \red{\overline{\langle y,x\rangle}}=\overline{-\bar y_1x_2-\bar y_2x_1+\bar y_3x_3+\bar y_4x_4}
[/mm]
[mm] =-\overline{\overline{y_1}x_2}-\overline{\overline{y_2}x_1}+\overline{\overline{y_3}x_3}+\overline{\overline{y_4}x_4}=-y_1\overline{x_2}-y_2\overline{x_1}+y_3\overline{x_3}+y_4\overline{x_4}
[/mm]
[mm] =-\bar x_1y_2-\bar x_2y_1+\bar x_3y_3+\bar x_4y_4 [/mm] wegen der Kommutativität von + und * in [mm] \IC
[/mm]
[mm] =\red{\langle x,y\rangle}
[/mm]
Also ist das Teil symmetrisch auf [mm] \IC^4 [/mm] und damit auch auf [mm] \IR^4
[/mm]
Nun zur positiven Definitheit:
(I) auf [mm] W\subset\IR^4:
[/mm]
[mm] \langle x_1,x_1\rangle=-2x_1x_2+\underbrace{x_3^2}_{\ge 0}+\underbrace{x_4^2}_{\ge 0}
[/mm]
zu zeigen ist, dass [mm] -2x_1x_2+x_3^2+x_4^2\ge 0\Rightarrow x_3^2+x_4^2\ge 2x_1x_2
[/mm]
Nun ist ja [mm] x\in [/mm] W, also [mm] x_1+x_2+x_3=0\Rightarrow -x_3=x_1+x_2\Rightarrow x_3^2=x_1^2+2x_1x_2+x_2^2
[/mm]
Also [mm] x_3^2+x_4^2\ge x_3^2=x_1^2+2x_1x_2+x_2^2\ge 2x_1x_2
[/mm]
Puh, also ist [mm] \langle x,x\rangle\ge [/mm] 0 für beliebiges [mm] x\in [/mm] W
(II) auf [mm] W\subset\IC^4:
[/mm]
musste mal überlegen
geht vllt. ähnlich... hab ich aber gerade keene Lust
Es ist ja wieder [mm] -x_3=x_1+x_2, [/mm] also [mm] -\overline{x_3}=\overline{x_1+x_2}=\overline{x_1}+\overline{x_2}
[/mm]
Vllt. bringt das was...
Bis dahin erstmal
schönen Gruß
schachuzipus
Achja, eine alternative Rangehensweise ist ökonomischer:
Bestimme mal zum einen die Darstellungsmatrix von [mm] \langle ,\rangle [/mm] bzgl der kanonischen Basis [mm] \{e_1,e_2,e_3,e_4\} [/mm] des [mm] \IR^4 [/mm] bzw. des [mm] \IC^4, [/mm] also die Gramsche Matrix mit den Einträgen [mm] a_{ij}=\langle e_i,e_j\rangle, [/mm] um die Eigenschaften des SP auf [mm] \IR^4 [/mm] bzw [mm] \IC^4 [/mm] zu testen und zum anderen die Darstellungsmatrix bzgl. der Basis [mm] \IW=\{w_1,w_2,w_3\} [/mm] von W, um zu testen, ob [mm] \langle ,\rangle [/mm] ein Skalarprodukt auf W ist
An deren Gestalt kannst du die Symmetrie und die positive Definitheit schneller bestimmen/ablesen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:10 Mo 09.07.2007 | | Autor: | Zerwas |
Okay danke erstmal :)
aber: wie kommst du von [mm] x_1+x_2+x_3=0\Rightarrow -x_3=x_1+x_2 [/mm] auf [mm] x_3^2=x_1^2+2x_1x_2+x_2^2 [/mm] ???
zu [mm] \IC^4 [/mm] mach ich mir mal gedanken
Wie bilde ich die Gramsche Matrix?? einfach eine matrix [mm] A=a_{ij} [/mm] aufstellen derat:
[mm] a_{11}=<\pmat{1\\0\\0\\0},\pmat{1\\0\\0\\0}>=0
[/mm]
[mm] a_{12}=<\pmat{1\\0\\0\\0},\pmat{0\\1\\0\\0}>=-1
[/mm]
[mm] a_{13}=<\pmat{1\\0\\0\\0},\pmat{0\\0\\1\\0}>=0
[/mm]
[mm] a_{14}=<\pmat{1\\0\\0\\0},\pmat{0\\0\\0\\1}>=0
[/mm]
[mm] a_{21}=<\pmat{0\\1\\0\\0},\pmat{1\\0\\0\\0}>=-1
[/mm]
[mm] a_{22}=<\pmat{0\\1\\0\\0},\pmat{0\\1\\0\\0}>=0
[/mm]
[mm] a_{23}=<\pmat{0\\1\\0\\0},\pmat{0\\0\\1\\0}>=0
[/mm]
[mm] a_{24}=<\pmat{0\\1\\0\\0},\pmat{0\\0\\0\\1}>=0
[/mm]
[mm] a_{31}=<\pmat{0\\0\\1\\0},\pmat{1\\0\\0\\0}>=0
[/mm]
[mm] a_{32}=<\pmat{0\\0\\1\\0},\pmat{0\\1\\0\\0}>=0
[/mm]
[mm] a_{33}=<\pmat{0\\0\\1\\0},\pmat{0\\0\\1\\0}>=1
[/mm]
[mm] a_{34}=<\pmat{0\\0\\1\\0},\pmat{0\\0\\0\\1}>=0
[/mm]
[mm] a_{41}=<\pmat{0\\0\\0\\1},\pmat{1\\0\\0\\0}>=0
[/mm]
[mm] a_{42}=<\pmat{0\\0\\0\\1},\pmat{0\\1\\0\\0}>=0
[/mm]
[mm] a_{43}=<\pmat{0\\0\\0\\1},\pmat{0\\0\\1\\0}>=0
[/mm]
[mm] a_{44}=<\pmat{0\\0\\0\\1},\pmat{0\\0\\0\\1}>=1
[/mm]
[mm] \Rightarrow A=\pmat{0 & -1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1}
[/mm]
Und wie lese ich hier dann die positive Definitheit ab?
Und habe ich bei [mm] \IC^4 [/mm] dann nicht 8 Basisvektoren? also [mm] \IC^4=<\pmat{1\\0\\0\\0},\pmat{i\\0\\0\\0},\pmat{0\\1\\0\\0},\pmat{0\\i\\0\\0},\pmat{0\\0\\1\\0},\pmat{0\\0\\i\\0},\pmat{0\\0\\0\\1},\pmat{0\\0\\0\\i}> [/mm]
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Hallo Zerwas,
> Okay danke erstmal :)
> aber: wie kommst du von [mm]x_1+x_2+x_3=0\Rightarrow -x_3=x_1+x_2[/mm]
> auf [mm]x_3^2=x_1^2+2x_1x_2+x_2^2[/mm] ???
Quadrieren auf beiden Seiten
>
> zu [mm]\IC^4[/mm] mach ich mir mal gedanken
>
> Wie bilde ich die Gramsche Matrix?? einfach eine matrix
> [mm]A=a_{ij}[/mm] aufstellen derat:
> [mm]a_{11}=<\pmat{1\\0\\0\\0},\pmat{1\\0\\0\\0}>=0[/mm]
> [mm]a_{12}=<\pmat{1\\0\\0\\0},\pmat{0\\1\\0\\0}>=-1[/mm]
> [mm]a_{13}=<\pmat{1\\0\\0\\0},\pmat{0\\0\\1\\0}>=0[/mm]
> [mm]a_{14}=<\pmat{1\\0\\0\\0},\pmat{0\\0\\0\\1}>=0[/mm]
>
> [mm]a_{21}=<\pmat{0\\1\\0\\0},\pmat{1\\0\\0\\0}>=-1[/mm]
> [mm]a_{22}=<\pmat{0\\1\\0\\0},\pmat{0\\1\\0\\0}>=0[/mm]
> [mm]a_{23}=<\pmat{0\\1\\0\\0},\pmat{0\\0\\1\\0}>=0[/mm]
> [mm]a_{24}=<\pmat{0\\1\\0\\0},\pmat{0\\0\\0\\1}>=0[/mm]
>
> [mm]a_{31}=<\pmat{0\\0\\1\\0},\pmat{1\\0\\0\\0}>=0[/mm]
> [mm]a_{32}=<\pmat{0\\0\\1\\0},\pmat{0\\1\\0\\0}>=0[/mm]
> [mm]a_{33}=<\pmat{0\\0\\1\\0},\pmat{0\\0\\1\\0}>=1[/mm]
> [mm]a_{34}=<\pmat{0\\0\\1\\0},\pmat{0\\0\\0\\1}>=0[/mm]
>
> [mm]a_{41}=<\pmat{0\\0\\0\\1},\pmat{1\\0\\0\\0}>=0[/mm]
> [mm]a_{42}=<\pmat{0\\0\\0\\1},\pmat{0\\1\\0\\0}>=0[/mm]
> [mm]a_{43}=<\pmat{0\\0\\0\\1},\pmat{0\\0\\1\\0}>=0[/mm]
> [mm]a_{44}=<\pmat{0\\0\\0\\1},\pmat{0\\0\\0\\1}>=1[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow A=\pmat{0 & -1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Sowas in der Art hatte ich gestern auch raus - hab aber den Schmierzettel nicht hier, ich meine aber, das stimmt.
Die Symmetrie der BLF erkennst du an der Symmetrie der Matrix
> Und wie lese ich hier dann die positive Definitheit ab?
Die BLF ist positiv definit, falls die Gramsche Matrix positiv definit ist, also falls alle Eigenwerte der Gramschen Matrix positiv sind.
Das könntest du mal prüfen - Entwicklung nach der 4. Zeile bietet sich an...
> Und habe ich bei [mm]\IC^4[/mm] dann nicht 8 Basisvektoren? also
> [mm]\IC^4=<\pmat{1\\0\\0\\0},\pmat{i\\0\\0\\0},\pmat{0\\1\\0\\0},\pmat{0\\i\\0\\0},\pmat{0\\0\\1\\0},\pmat{0\\0\\i\\0},\pmat{0\\0\\0\\1},\pmat{0\\0\\0\\i}>[/mm]
>
Wie soll das denn gehen?? Es ist doch [mm] dim(\IC^4)=4
[/mm]
Eine Basis ist genau wie im [mm] \IR^4 \{e_1,...,e_4\}
[/mm]
Du hast ja deine Skalare aus [mm] \IC, [/mm] also kriegste mit dieser Basis jedes [mm] x\in\IC^4 [/mm] linear kombiniert
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:42 Mo 09.07.2007 | | Autor: | Zerwas |
Autsch ... okay das mit der Basis in [mm] \IC^4 [/mm] ganz schnell vergessen :-P (ich habe iwie [mm] \IC^4 [/mm] als [mm] \IR-VR [/mm] auffassen wollen :-[)...
Wenn ich dann die Matrix nach der 4. zeile entwickle bekomme ich:
[mm] |\lambda E-A|=\vmat{\lambda & 1 & 0 & 0 \\ 1 & \lambda & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \lambda -1}=(\lambda-1)*\vmat{\lambda & 1 & 0 \\ 1 & \lambda & 0\\ 0 & 0 & \lambda -1}
[/mm]
[mm] =(\lambda-1)*(\lambda^2*(\lambda -1)-(\lambda [/mm] -1))
[mm] =(\lambda-1)*(\lambda^3-\lambda^2-\lambda+1)
[/mm]
[mm] =\lambda^4-\lambda^3-\lambda^2+\lambda-\lambda^3+\lambda^2+\lambda-1
[/mm]
[mm] =\lambda^4-2\lambda^3+2\lambda-1
[/mm]
[mm] \Rightarrow \lambda_1=1
[/mm]
Poldiv:
[mm] (\lambda^4-2\lambda^3+2\lambda-1):(\lambda_1-1)=\lambda^3-\lambda^2-\lambda+1
[/mm]
[mm] \Rightarrow \lambda_2=1
[/mm]
Poldiv:
[mm] (\lambda^3-\lambda^2-\lambda+1):(\lambda_1-1)=\lambda^2-1
[/mm]
[mm] \Rightarrow \lambda_3=1 [/mm] , [mm] \lambda_4=-1
[/mm]
Und damit wäre die BLF nicht pos. def.
Und das bedeutet, dass entweder die Matrix falsch ist oder < , > zumindest bzgl. V keinen euklidischen bzw. Unitären VR bildet ...
Wenn ich jetzt aber von W ausgehn würde ... müsste ich die Gramsche Matrix dann nicht derart aufstellen, dass ich habe:
[mm] W=<\pmat{1\\-1\\0\\0},\pmat{1\\0\\-1\\0},\pmat{0\\1\\-1\\1}>
[/mm]
und dann die 3x3 Matrix [mm] B:=b_{ij} [/mm] aufstelle:
[mm] b_{11}=<\pmat{1\\-1\\0\\0},\pmat{1\\-1\\0\\0}>=2
[/mm]
[mm] b_{12}=<\pmat{1\\-1\\0\\0},\pmat{1\\0\\-1\\0}>=1
[/mm]
[mm] b_{13}=<\pmat{1\\-1\\0\\0},\pmat{0\\1\\-1\\1}>=-1
[/mm]
[mm] b_{21}=<\pmat{1\\0\\-1\\0},\pmat{1\\-1\\0\\0}>=1
[/mm]
[mm] b_{22}=<\pmat{1\\0\\-1\\0},\pmat{1\\0\\-1\\0}>=1
[/mm]
[mm] b_{23}=<\pmat{1\\0\\-1\\0},\pmat{0\\1\\-1\\1}>=0
[/mm]
[mm] b_{31}=<\pmat{0\\1\\-1\\1},\pmat{1\\-1\\0\\0}>=-1
[/mm]
[mm] b_{32}=<\pmat{0\\1\\-1\\1},\pmat{1\\0\\-1\\0}>=0
[/mm]
[mm] b_{33}=<\pmat{0\\1\\-1\\1},\pmat{0\\1\\-1\\1}>=2
[/mm]
[mm] \Rightarrow B=\pmat{2 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 2}
[/mm]
B ist symmetrisch und besitzt 3 pos EW ... damit wäre W bzgl. < , > ein euklidischer bzw. unitärer VR
Richtig so?
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Hallo Zerwas,
> Wenn ich dann die Matrix nach der 4. zeile entwickle
> bekomme ich:
>
> [mm]|\lambda E-A|=\vmat{\lambda & 1 & 0 & 0 \\ 1 & \lambda & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \lambda -1}=(\lambda-1)*\vmat{\lambda & 1 & 0 \\ 1 & \lambda & 0\\ 0 & 0 & \lambda -1}[/mm]
>
> [mm]=(\lambda-1)*(\lambda^2*(\lambda -1)-(\lambda[/mm] -1))
> [mm]=(\lambda-1)*(\lambda^3-\lambda^2-\lambda+1)[/mm]
>
> [mm]=\lambda^4-\lambda^3-\lambda^2+\lambda-\lambda^3+\lambda^2+\lambda-1[/mm]
> [mm]=\lambda^4-2\lambda^3+2\lambda-1[/mm]
> [mm]\Rightarrow \lambda_1=1[/mm]
>
> Poldiv:
>
> [mm](\lambda^4-2\lambda^3+2\lambda-1):(\lambda_1-1)=\lambda^3-\lambda^2-\lambda+1[/mm]
> [mm]\Rightarrow \lambda_2=1[/mm]
>
> Poldiv:
> [mm](\lambda^3-\lambda^2-\lambda+1):(\lambda_1-1)=\lambda^2-1[/mm]
> [mm]\Rightarrow \lambda_3=1[/mm] , [mm]\lambda_4=-1[/mm]
>
> Und damit wäre die BLF nicht pos. def. ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
>
> Und das bedeutet, dass entweder die Matrix falsch ist oder
> < , > zumindest bzgl. V keinen euklidischen bzw. Unitären
> VR bildet ...
Die Matrix stimmt, also ist [mm] \langle ,\rangle [/mm] ist kein Skalarprodukt auf [mm] \IR^4 [/mm] oder [mm] \IC^4
[/mm]
> Wenn ich jetzt aber von W ausgehn würde ... müsste ich die
> Gramsche Matrix dann nicht derart aufstellen, dass ich
> habe:
>
> [mm]W=<\pmat{1\\-1\\0\\0},\pmat{1\\0\\-1\\0},\pmat{0\\1\\-1\\1}>[/mm]
>
> und dann die 3x3 Matrix [mm]B:=b_{ij}[/mm] aufstelle:
> [mm]b_{11}=<\pmat{1\\-1\\0\\0},\pmat{1\\-1\\0\\0}>=2[/mm]
> [mm]b_{12}=<\pmat{1\\-1\\0\\0},\pmat{1\\0\\-1\\0}>=1[/mm]
> [mm]b_{13}=<\pmat{1\\-1\\0\\0},\pmat{0\\1\\-1\\1}>=-1[/mm]
>
> [mm]b_{21}=<\pmat{1\\0\\-1\\0},\pmat{1\\-1\\0\\0}>=1[/mm]
> [mm]b_{22}=<\pmat{1\\0\\-1\\0},\pmat{1\\0\\-1\\0}>=1[/mm]
> [mm]b_{23}=<\pmat{1\\0\\-1\\0},\pmat{0\\1\\-1\\1}>=0[/mm]
>
> [mm]b_{31}=<\pmat{0\\1\\-1\\1},\pmat{1\\-1\\0\\0}>=-1[/mm]
> [mm]b_{32}=<\pmat{0\\1\\-1\\1},\pmat{1\\0\\-1\\0}>=0[/mm]
> [mm]b_{33}=<\pmat{0\\1\\-1\\1},\pmat{0\\1\\-1\\1}>=2[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow B=\pmat{2 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 2}[/mm]
>
> B ist symmetrisch und besitzt 3 pos EW ... damit wäre W
> bzgl. < , > ein euklidischer bzw. unitärer VR
>
> Richtig so?
Jo, das sieht gut aus
Also [mm] \langle ,\rangle [/mm] ein Skalarprodukt auf W, aber nicht auf [mm] \IR^4 [/mm] und nicht auf [mm] \IC^4
[/mm]
LG
schachuzipus
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So hi nochmal,
ich denke, du wendest Gram-Schmidt nicht ganz richtig an:
Du willst die Basis [mm] \mathbb{B}=\{w_1,w_2,w_3\} [/mm] von W orthonormalisieren.
Dazu würde ich zunächst [mm] ortho\underline{gonalisieren}, [/mm] also eine Orthogonalbasis
[mm] \mathbb{O}=\{u_1,u_2,u_3\} [/mm] bestimmen und die [mm] u_i [/mm] am Schluß normieren
Also mit G-S:
(I) [mm] u_1:=w_1
[/mm]
(II) [mm] u_2:=w_2-\frac{\langle w_2,u_1\rangle}{\langle u_1,u_1\rangle}\cdot{}u_1
[/mm]
(III) [mm] u_3:=w_3-\frac{\langle w_3,u_1\rangle}{\langle u_1,u_1\rangle}\cdot{}u_1-\frac{\langle w_3,u_2\rangle}{\langle u_2,u_2\rangle}\cdot{}u_2
[/mm]
Beim Normieren daran denken, dass [mm] $||u_i||=\sqrt{\langle u_i,u_i\rangle}$ [/mm] ist
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:14 Mo 09.07.2007 | | Autor: | Zerwas |
Wenn ich zuerst eine Ortogonalbasis aufstelle erhalte ich dann also:
[mm] u_1=\pmat{1\\-1\\0\\0}
[/mm]
[mm] u_2=\pmat{1\\0\\-1\\0}-\bruch{1}{2}*\pmat{1\\-1\\0\\0}=\pmat{\bruch{1}{2}\\\bruch{1}{2}\\-1\\0}
[/mm]
[mm] u_3=\pmat{1\\1\\-2\\1}+\bruch{1}{2}*\pmat{1\\-1\\0\\0}-2*\pmat{\bruch{1}{2}\\\bruch{1}{2}\\-1\\0}=\pmat{\bruch{1}{2}\\-\bruch{1}{2}\\0\\1}
[/mm]
Jetzt noch normalisieren:
[mm] n_1:=\bruch{u_1}{||u_1||}
[/mm]
[mm] ||u_1||=\wurzel{|u_1|}=\wurzel{}=\wurzel{2} \Rightarrow n_1=\pmat{\bruch{1}{\wurzel{2}}\\-\bruch{1}{\wurzel{2}}\\0\\0}
[/mm]
[mm] n_2:=\bruch{u_2}{||u_2||}
[/mm]
[mm] ||u_2||=\wurzel{|u_2|}=\wurzel{}=\wurzel{\bruch{1}{2}}=\bruch{1}{\wurzel{2}}\Rightarrow n_2=\pmat{\bruch{\wurzel{2}}{2}\\\bruch{\wurzel{2}}{2}\\-\wurzel{2}\\0}
[/mm]
[mm] n_3:=\bruch{u_3}{||u_3||}
[/mm]
[mm] ||u_3||=\wurzel{|u_3|}=\wurzel{}=\wurzel{\bruch{3}{2}}=\bruch{\wurzel{3}}{\wurzel{2}} \Rightarrow n_3=\pmat{\bruch{\wurzel{2}}{2*\wurzel{3}}\\-\bruch{\wurzel{2}}{2*\wurzel{3}}\\0\\\bruch{\wurzel{2}}{\wurzel{3}}}
[/mm]
Passt das dann so?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:25 Mo 09.07.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
<u3,u1> gibt bei mir nicht 0. ausserdem ist u2 falsch normiert.
Gruss leduart
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:03 Mo 09.07.2007 | | Autor: | Zerwas |
Okay klar .. da habe ich mich verrechnet ... also die Korrektur:
[mm] u_1=\pmat{1\\-1\\0\\0}
[/mm]
[mm] u_2=\pmat{1\\0\\-1\\0}-\bruch{1}{2}\cdot{}\pmat{1\\-1\\0\\0}=\pmat{\bruch{1}{2}\\\bruch{1}{2}\\-1\\0} [/mm]
[mm] u_3=\pmat{1\\1\\-2\\1}+0\cdot{}\pmat{1\\-1\\0\\0}-2\cdot{}\pmat{\bruch{1}{2}\\\bruch{1}{2}\\-1\\0}=\pmat{0\\0\\0\\1}
[/mm]
Jetzt noch normalisieren:
[mm] n_1:=\bruch{u_1}{||u_1||} [/mm]
[mm] ||u_1||=\wurzel{|u_1|}=\wurzel{}=\wurzel{2} \Rightarrow n_1=\pmat{\bruch{1}{\wurzel{2}}\\-\bruch{1}{\wurzel{2}}\\0\\0}
[/mm]
Warum ist [mm] u_2 [/mm] falsch normiert???
[mm] n_2:=\bruch{u_2}{||u_2||}$
[/mm]
[mm] ||u_2||=\wurzel{|u_2|}=\wurzel{}=\wurzel{-0,5*0.5-0.5*0.5+(-1)*(-1)+0*0}=\wurzel{-0,5+1}=\wurzel{\bruch{1}{2}}=\bruch{1}{\wurzel{2}}
[/mm]
[mm] \Rightarrow n_2=\bruch{\pmat{\bruch{1}{2}\\\bruch{1}{2}\\-1\\0}}{\bruch{1}{\wurzel{2}}}=\wurzel{2}*\pmat{\bruch{1}{2}\\\bruch{1}{2}\\-1\\0}=\pmat{\bruch{\wurzel{2}}{2}\\\bruch{\wurzel{2}}{2}\\-\wurzel{2}\\0} [/mm]
Ich sehe hier keinerlei Fehler
[mm] n_3:=\bruch{u_3}{||u_3||}
[/mm]
[mm] ||u_3||=\wurzel{|u_3|}=\wurzel{}=\wurzel{1}=1
[/mm]
[mm] \Rightarrow n_3=\pmat{0\\0\\0\\1}
[/mm]
Jetzt sollte es stimmen oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:10 Mo 09.07.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] n2^2=3!
[/mm]
wie kommen die - Zeichen in deine Wurzel bei [mm] [/mm] ? Betrag hat IMMER NUR positive Summanden! [mm] |x|^2=x_1^2+x_2^2+x_3^2+...
[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:13 Di 10.07.2007 | | Autor: | Zerwas |
*g* achsou .... es wird bei der aufgabe nicht mit dem standardskalarprodukt gearbeitet sondern mit [mm] =-\bar x_1y_2-\bar x_2y_1+\bar x_3y_3+\bar x_4y_4 [/mm] und dann muss doch auch mit diesem skalarodukt normiert werden oder nicht?
Gruß Zerwas
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Hallo,
> *g* achsou .... es wird bei der aufgabe nicht mit dem
> standardskalarprodukt gearbeitet sondern mit [mm]=-\bar x_1y_2-\bar x_2y_1+\bar x_3y_3+\bar x_4y_4[/mm]
> und dann muss doch auch mit diesem skalarodukt normiert
> werden oder nicht?
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> Gruß Zerwas
Gruß
schachuzipus
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