evtl. Induktionsbeweis? < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:12 Mi 17.09.2008 | | Autor: | Feiratos |
| Aufgabe | | Beweisen Sie, dass für jede endliche und nichtleere Menge M von reelen Zahlen minM und maxM existieren. |
Zu dieser Aufgabe habe ich keine Idee, oder besser gesagt, ich weiß nicht womit ich hier arbeiten soll, deswegen benötige ich hierzu eine kleine Hilfestellung.
Viele Grüße Feiratos
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:20 Mi 17.09.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Dazu schau dir mal die Definition von Minimum und Maximum an.
Tipp: Vergleiche das ganze mal mit dem Supremum/Infimum. Warum liegt das jetzt in der Menge?
Und man braucht hier noch eine Eigenschaft der reellen Zahlen, in [mm] \IC [/mm] geht das ganze nicht.
Tipp: Versuche in [mm] \IC [/mm] mal, Zahlen zu ordnen.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:52 Mi 17.09.2008 | | Autor: | Feiratos |
Also wenn
[mm] M\subseteq \IR
[/mm]
a [mm] \in \IR [/mm] heisst maxM [mm] :\gdw
[/mm]
(1) [mm] \forall x\inM :x\le [/mm] a
(2) [mm] a\in [/mm] M
minM [mm] :\gdw
[/mm]
(1) [mm] \forall x\inM :x\ge [/mm] a
(2) [mm] a\in [/mm] M
Wenn ich diese mit dem Supremum/Infimum vergleiche,so sind sich diese ähnlich.
Also die eine Eigenschaft vom Sup ist dieselbe wie beim [mm] max(\forall x\inM :x\le [/mm] a), dasselbe mit inf und [mm] min(\forall x\inM :x\ge [/mm] a).
Der Zusatz beim sup/inf sind die Eigenschaften:
beim sup:
[mm] \forall \varepsilon>0\existsx\inM:x >a-\varepsilon [/mm] , was auf die kleinste obere Schranke hinweist, analog das Infimum, wo die zweite Eigenschaft auf die größte untere Schranke hinweist.
Ich würde sagen es liegt in der Menge weil es halt eine obere und untere Schranke gibt, und die Menge eine endliche nichtleere Menge ist.
Dein Tipp ziehlt glaube auf die Eigenschaft, dass die reelen Zahlen linear angeordnet sind?:
Auf [mm] \mathbb [/mm] R existiert eine Ordnung " ≤ " . [mm] (\mathbb [/mm] R,≤) ist eine linear geordnete Menge mit folgenden Eigenschaften:
Seien x,y ∈ [mm] \mathbb [/mm] R mit x ≤ y.
1. Dann gilt für alle z ∈ [mm] \mathbb [/mm] R: x + z ≤ y + z und
2. für alle z ∈ [mm] \mathbb [/mm] R mit z ≥ 0: xz ≤ yz.
wie kann ich diese Hinweise zu einem Beweis zusammenbauen, reichen diese Sachen dafür aus?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:01 Mi 17.09.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Also wenn
>
> [mm]M\subseteq \IR[/mm]
>
> a [mm]\in \IR[/mm] heisst maxM [mm]:\gdw[/mm]
>
> (1) [mm]\forall x\inM :x\le[/mm] a
> (2) [mm]a\in[/mm] M
>
> minM [mm]:\gdw[/mm]
>
> (1) [mm]\forall x\inM :x\ge[/mm] a
> (2) [mm]a\in[/mm] M
>
> Wenn ich diese mit dem Supremum/Infimum vergleiche,so sind
> sich diese ähnlich.
> Also die eine Eigenschaft vom Sup ist dieselbe wie beim
> [mm]max(\forall x\inM :x\le[/mm] a), dasselbe mit inf und
> [mm]min(\forall x\inM :x\ge[/mm] a).
>
> Der Zusatz beim sup/inf sind die Eigenschaften:
> beim sup:
> [mm]\forall \varepsilon>0\existsx\inM:x >a-\varepsilon[/mm] , was
> auf die kleinste obere Schranke hinweist, analog das
> Infimum, wo die zweite Eigenschaft auf die größte untere
> Schranke hinweist.
>
> Ich würde sagen es liegt in der Menge weil es halt eine
> obere und untere Schranke gibt, und die Menge eine endliche
> nichtleere Menge ist.
Korrekt, durch die Abgeschlossenheit der Menge liegt ein evtl vorhandenes Supremum/Infimum hier also in der Menge, und damit wäre es dann ein Maximum/Minimum.
>
> Dein Tipp ziehlt glaube auf die Eigenschaft, dass die
> reelen Zahlen linear angeordnet sind?:
>
>
> Auf [mm]\mathbb[/mm] R existiert eine Ordnung " ≤ " . [mm](\mathbb[/mm]
> R,≤) ist eine linear geordnete Menge mit folgenden
> Eigenschaften:
>
> Seien x,y ∈ [mm]\mathbb[/mm] R mit x ≤ y.
>
> 1. Dann gilt für alle z ∈ [mm]\mathbb[/mm] R: x + z ≤
> y + z und
>
> 2. für alle z ∈ [mm]\mathbb[/mm] R mit z ≥ 0: xz
> ≤ yz.
>
> wie kann ich diese Hinweise zu einem Beweis zusammenbauen,
Das zeigt dir, dass du die Elemente der Menge der Grösse nach ordnen kannst, also gibt es ein Supremum/Infimum, das das wegen der oben Erwähnten Abgeschlossenheit ein Maximum/Minimum ist.
> reichen diese Sachen dafür aus?
Das reicht.
Ich würde aber erstmal zeigen, dass du die Menge ordnen kannst (Endlich, Reelle Zahlen, nichtleer) und es damit ein Infimum/Supremum geben muss, und dann zeigen, dass das dann auch das Maximum/Minimum sein muss (abgeschlossen).
Marius
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:44 Mi 17.09.2008 | | Autor: | Feiratos |
also muss ich zeigen, das nach der 0 die 1 folgt, besser, dass 0<1 ist
ich beziehe das darauf, das [mm] x,y\in \IR [/mm] sind und [mm] x\ley
[/mm]
müsste ich da erst schreiben [mm] 0\le1 [/mm] ?
und daran prüfe ich mit Axiomen (Addition und Multiplikation)
[mm] 0\le1 [/mm] |(+(-1) auf beiden Seiten
0-1 [mm] \le1-1 [/mm] = [mm] -1\le0
[/mm]
[mm] 0\le1 [/mm] |(*(-1) auf beiden Seiten
[mm] -1*0\le1*(-1) [/mm] = [mm] 0\le [/mm] -1? das stimmt ja nicht,wie muss ich das systematisch aufbauen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:57 Mi 17.09.2008 | | Autor: | pelzig |
Das ist alles viel zu kompliziert. Der Beweis ist ein Zweizeiler mit vollständiger Induktion, da braucht man nix wissen von Abgeschlossenheit. Und ich denke dass Abgeschlossenheit allein auf allgemeinen metrischen Räumen gar nicht reicht dafür, dass das Supremum in der Menge liegt. Dafür braucht man Kompaktheit, die ist zwar in diesem Fall äquivalent zu "beschränkt und abgeschlossen", aber allgemein gilt das natürlich nicht. Ich wollte dir nur verdeutlichen, dass du dir mit diesem Ansatz nen gewaltigen Berg Arbeit machst.
Beweise es einfach mit vollständiger Induktion (!)
Gruß, Robert
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:55 Mi 17.09.2008 | | Autor: | pelzig |
Ja das geht einfach mit Induktion über die Anzahl der Elemente. Im Induktionsschritt nimmst du ein Element aus der Menge raus und wendest die Induktionsvoraussetzung an.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:05 Mi 17.09.2008 | | Autor: | Feiratos |
also gut, ich nehme mir ein Element aus der Menge, zum Beispiel die 1 .
Induktionsvoraussetzung ist [mm] 1\in [/mm] M und [mm] \forall x\in [/mm] M [mm] x\ge1 [/mm] fürs min und
[mm] x\le1 [/mm] fürs max,...
das jetzt für das n und dann für n+1 , oder wie kann ich das machen?
Gruß Feiratos
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:15 Mi 17.09.2008 | | Autor: | pelzig |
Nee. Du weißt doch gar nicht welche Zahlen in deiner Menge sind, also kannst du nicht einfach sagen [mm] $1\in [/mm] M$. Du machst Induktion über die Anzahl der Elemente in $M$. D.h. Induktionsanfang, $|M|=1$ - beweise dass es ein Maximum gibt. Induktionsschritt, du hast eine Menge mit $n$ Elementen und wählst ein beliebiges Element $x$ aus. Nun kannst du auf die Menge [mm] $M\setminus\{x\}$ [/mm] die Induktionsvoraussetzung anwenden.
Die Existenz des Minimums folgt aus der Existenz des Maximums, denn das Minimum einer Menge $M$ ist einfach das Maximum der Menge [mm] $-M:=\{-x|x\in M\}$.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:26 Mi 17.09.2008 | | Autor: | Feiratos |
Hallo,
kann ich die Existens des Maximums beweisen?:
|M|=1 1=a
es gelte a=supM. ( ist teilweise auch die Definition vom max)
[mm] \forall x\in [/mm] M ; [mm] x\le [/mm] a
und [mm] a\in [/mm] M
aber hier hänge ich noch,,ich könnte den Beweis weiterführen Richtung kleinste obere Schranke,,aber das ist ja keine Eigenschaft vom max.
also ich würde hier einfach annehmen, dass 2 eine kleinere obere Schranke ist und würde dann a´=2 zeigen, dass [mm] a\lea´ist, [/mm] und dass indirekt beweisen, indem ich annehme dass a<a´ist...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:20 Mi 17.09.2008 | | Autor: | pelzig |
Ok ich zeig dir einfach mal wie der Beweis geht. Und du denkst dann so lange darüber nach, bis du ihn verstanden hast.
z.z.: Jede nichtleere endliche Teilmenge besitz ein Maximum.
Beweis: Sei $M$ eine endliche Menge, d.h. es gibt eine natürliche Zahl [mm] $n\in\IN$, [/mm] sodass $|M|=n$ ist. Technisch gesehen heißt das, wie ich in einem anderen Beitrag von dir schon geschrieben habe, dass es eine Bijektion [mm] $\varphi$ [/mm] von [mm] $\{1,2,...,n\}$ [/mm] auf $M$ gibt. D.h. insbesondere, wir können alle Elemente von $M$ einfach aufzählen: [mm] $\varphi(1),\varphi(2),...,\varphi(n)$. [/mm] Dabei wird jedes Element von $M$ "getroffen", da [mm] $\varphi$ [/mm] surjektiv ist, und jedes Element kommt nur einmal in dieser Aufzählung vor, da [mm] $\varphi$ [/mm] injektiv ist.
Wir schreiben dafür im Folgenden einfach kurz [mm] $a_1, a_2,..., a_n$.
[/mm]
Wir zeigen die Behauptung nun durch vollständige Induktion über $|M|$.
Induktionsanfang, $|M|=1$: $M$ besteht also aus genau einem Element [mm] $a_1$. [/mm] Dann ist [mm] $a_1$ [/mm] ein Maxiumum von $M$, denn es ist [mm] $a_1\le a_1$ [/mm] und da es keine weiteren Elemente gibt, gilt [mm] $\forall x\in M:a_1\ge [/mm] x$.
Induktionsschritt: Sei nun $M$ eine (andere) Menge mit $n$ Elementen [mm] $a_1,a_2,...,a_n$. [/mm] Dann hat die Menge [mm] $M\setminus\{a_n\}$ [/mm] genau $n-1$ Elemente und besitzt nach Induktionsvoraussetzung ein Maximum $m$.
1. Fall: [mm] $m\ge a_n$: [/mm] Dann ist $m$ auch ein Maximum von $M$, d.h. $M$ besitzt ein Maximum.
2. Fall: [mm] $mm\ge a_k$ [/mm] für alle $k=1,...,n-1$. Da auch [mm] $a_n\ge a_n$ [/mm] gilt, gilt also [mm] $a_n\ge a_k$ [/mm] für alle $k=1,...,n$. Also ist [mm] $a_n$ [/mm] ein Maxiumum von $M$.
q.e.d.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:28 Mi 17.09.2008 | | Autor: | Feiratos |
Vielen Dank, das werde ich mir zu Herzen nehmen.
Tut mir wirklich leid dass ich solche Umstände mache,in zukünftlich werde ich erstmal die grundlegenden Begriffe verinnerlichen..
nochmals dankeschön
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