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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - exakte DGL
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exakte DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:28 Fr 20.11.2020
Autor: rubi

Hallo zusammen,

ich habe eine Frage zu exakten DGL.

Folgende DGL liegt vor:
y' - 3xy' = 1-2y  

Wenn ich diese umforme erhalte ich: (1-3x)y' + 2y - 1 = 0
Daraus folgt: (1-3x)dy + (2y-1)dx = 0    (1)

Ableiten von 1- 3x nach x ergibt -3:
Ableiten von 2y - 1 nach y ergibt 2.
Da die Ableitungen nicht übereinstimmen ist die DGL nicht exakt.

Nun folgende Frage:
Wenn ich die Gleichung (1) durch (1-3x) und (2y-1) dividiere erhalte ich
[mm] \bruch{1}{2y-1}*dy+\bruch{1}{1-3x}*dx [/mm] = 0

Wenn ich nun [mm] \bruch{1}{2y-1} [/mm] nach x ableite ergibt sich 0.
Wenn ich [mm] \bruch{1}{1-3x} [/mm] nach y ableite ergibt sich 0.
Somit wäre vom Ergebnis her die DGL exakt, obwohl ich von oben weiß, dass dies nicht der Fall ist.

Warum darf ich die DGL nicht durch (1-3x) bzw. (2y-1) dividieren ?
Wenn ich die DGL löse durch Trennung der Variablen sind solche Divisionen ja auch möglich.

Vielen Dank für Eure Antworten !

Viele Grüße
Rubi


        
Bezug
exakte DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:04 Sa 21.11.2020
Autor: fred97


> Hallo zusammen,
>
> ich habe eine Frage zu exakten DGL.
>
> Folgende DGL liegt vor:
> y' - 3xy' = 1-2y  
>
> Wenn ich diese umforme erhalte ich: (1-3x)y' + 2y - 1 = 0
>  Daraus folgt: (1-3x)dy + (2y-1)dx = 0    (1)
>  
> Ableiten von 1- 3x nach x ergibt -3:
>  Ableiten von 2y - 1 nach y ergibt 2.
>  Da die Ableitungen nicht übereinstimmen ist die DGL nicht
> exakt.
>
> Nun folgende Frage:
> Wenn ich die Gleichung (1) durch (1-3x) und (2y-1)
> dividiere erhalte ich
>  [mm]\bruch{1}{2y-1}*dy+\bruch{1}{1-3x}*dx[/mm] = 0
>  
> Wenn ich nun [mm]\bruch{1}{2y-1}[/mm] nach x ableite ergibt sich 0.
> Wenn ich [mm]\bruch{1}{1-3x}[/mm] nach y ableite ergibt sich 0.
> Somit wäre vom Ergebnis her die DGL exakt, obwohl ich von
> oben weiß, dass dies nicht der Fall ist.
>
> Warum darf ich die DGL nicht durch (1-3x) bzw. (2y-1)
> dividieren ?
> Wenn ich die DGL löse durch Trennung der Variablen sind
> solche Divisionen ja auch möglich.

Ich verstehe Dein Problem nicht.  Du hast doch einen integrierenden Faktor gefunden,  der aus der ursprünglichen nicht exakten Dgl. eine exakte Dgl.  macht.


>
> Vielen Dank für Eure Antworten !
>  
> Viele Grüße
>  Rubi
>  


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