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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:47 Di 09.02.2010 | | Autor: | Katrin89 |
| Aufgabe | Die DGL [mm] (-y)dx+(y^2+x^2+x)*dy=0 [/mm]
ist nicht exakt und soll mit einem Euler-Multiplikatior exakt gemacht werden.
Dieser ist lt. Hinweis ein Faktor als Fkt. von [mm] x^2+y^2
[/mm]
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Nun wähle den Ansatz:
[mm] m_y*g+m*g_y=m_x*h+m*h_x [/mm]
[mm] (m_x [/mm] soll m abgeleitet nach x sein, usw)
Sei [mm] m=m(x^2+y^2)
[/mm]
es folgt:
[mm] -m'*(2y^2)+-m=m'*2x*(y^2+x^2+x)+m*(2x+1)
[/mm]
es soll dann heraus kommen:
[mm] m'=-1/(x^2+y^2)*m
[/mm]
[mm] ln(m)=-ln(x^2+y^2)M=1/(x^2+y^2)
[/mm]
Allerdings komme ich absolut nicht auf dieses Ergebnis. Ich würde mich sehr freuen, wenn ich sich jemand die Mühe machen würde, mir zu erkären, wie man auf diese Lösung kommt. Soll die Musterlösung sein, vllt. hab ich sie auch falsch abgeschrieben.
DANKE
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Hallo Katrin89,
> Die DGL [mm](-y)dx+(y^2+x^2+x)*dy=0[/mm]
>
> ist nicht exakt und soll mit einem Euler-Multiplikatior
> exakt gemacht werden.
> Dieser ist lt. Hinweis ein Faktor als Fkt. von [mm]x^2+y^2[/mm]
>
>
> Nun wähle den Ansatz:
> [mm]m_y*g+m*g_y=m_x*h+m*h_x[/mm]
>
> [mm](m_x[/mm] soll m abgeleitet nach x sein, usw)
>
>
> Sei [mm]m=m(x^2+y^2)[/mm]
>
> es folgt:
> [mm]-m'*(2y^2)+-m=m'*2x*(y^2+x^2+x)+m*(2x+1)[/mm]
Bringe zunächst alles mit m' auf die eine,
und alles mit m auf die andere Seite.
Dann kannst Du auf beiden Seiten
einen gemeinsamen Faktor ausklammern.
Und die entstehende DGL lösen.
>
> es soll dann heraus kommen:
> [mm]m'=-1/(x^2+y^2)*m[/mm]
> [mm]ln(m)=-ln(x^2+y^2)M=1/(x^2+y^2)[/mm]
>
> Allerdings komme ich absolut nicht auf dieses Ergebnis. Ich
> würde mich sehr freuen, wenn ich sich jemand die Mühe
> machen würde, mir zu erkären, wie man auf diese Lösung
> kommt. Soll die Musterlösung sein, vllt. hab ich sie auch
> falsch abgeschrieben.
Die Musterlösung hast Du schon richtig abgeschrieben.
> DANKE
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:30 Di 09.02.2010 | | Autor: | Katrin89 |
Hallo Mathepower,
ich bringe es nur bis hier hin:
m'/m= [mm] (1+x)/(-y^2-x*(y^2+x^2+x)
[/mm]
=
(ln(m))'=..
und nun? 
Dachte eig., dass sich da was wegkürzt!
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Hallo Katrin89,
> Hallo Mathepower,
> ich bringe es nur bis hier hin:
> m'/m= [mm](1+x)/(-y^2-x*(y^2+x^2+x)[/mm]
>
> =
> (ln(m))'=..
> und nun?
> Dachte eig., dass sich da was wegkürzt!
Es kürzt sich auch was weg.
Den Nenner kannst Du noch etwas zusammenfasssen.
Schreibe diesen als Funktion von [mm]x^{2}+y^{2}[/mm]
Beachte das der integrierende Faktor m eine Funktion von
[mm]u=x^{2}+y^{2}[/mm]
ist.
Dann hast Du eine DGL der Form
[mm]\bruch{m'}{m}=f\left(u\right)[/mm]
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:34 Di 09.02.2010 | | Autor: | Katrin89 |
Hi,
danke für deine Antwort. Du hast Recht, man darf ja auch sein Ziel nicht aus den Augen verlieren
Ich kann im Nenner ausklammern:
[mm] y^2(1+x)+x^2(1+x) [/mm] nd dann mit dem Zähler kürzen, dann anschließend integrieren.
Dankeschön!
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