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| Aufgabe | Gegeben sei die folgende Diffentialgleichung: [mm] x(1-y)+(y+x^2)y'=0
[/mm]
a) Berechnen sie den integrierenden Faktor, der die Differentialgleichung in eine exakte Differentialgleichung überführt
b)Finden sie die Stammfunktion für diese Gleichung
c)Geben Sie die allgemeine Lösung y(x) der urspünglichen Differentialgleichung implizit an |
Hallo!
Teilaufgabe a) konnte ich noch lösen, zumindest habe ich ein Ergebnis: e^(x/1-y)
Dann habe ich versucht mit Hilfe meines Skripts die Stammfunktion zu finden. Im prinzip ist da auch alles sehr hübsch erklärt, aber ich komme da nicht wirklich zu Rande.
Es wäre super, wenn ihr mir sagen könntet, ob mein integrierende Faktor stimmt, und mir bei der Suche nach der Stammfunktion helfen könntet.... :)
ich weiß, der bearbeitungszeitraum ist etwas kurz, aber wie das nunmal so ist, erst wollte ich es alleine herausknobeln, und jetzt muss ich den zettel morgen schon abgeben....
Viele liebe Grüße!
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:45 Mo 12.07.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Gegeben sei die folgende Diffentialgleichung:
> [mm]x(1-y)+(y+x^2)y'=0[/mm]
> a) Berechnen sie den integrierenden Faktor, der die
> Differentialgleichung in eine exakte Differentialgleichung
> überführt
> b)Finden sie die Stammfunktion für diese Gleichung
> c)Geben Sie die allgemeine Lösung y(x) der urspünglichen
> Differentialgleichung implizit an
> Hallo!
>
> Teilaufgabe a) konnte ich noch lösen, zumindest habe ich
> ein Ergebnis: e^(x/1-y)
Ich nehme an, du meinst [mm] e^{x/(1-y)} [/mm] .
Das stimmt nicht, denn dann müsste
[mm] \bruch{d}{dy}\left(e^{x/(1-y)}*x(1-y)\right) = \bruch{d}{dx}\left( e^{x/(1-y)}*(y+x^2)\right) [/mm]
sein, und das stimmt nicht.
Vielleicht schreibst du mal auf, wie du auf diese Ergebnis kamst.
Tipp: der integrierende Faktor hängt nur von y ab.
Viele Grüße
Rainer
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Ja, das meinte ich. Puuh, dann brauche ich mich ja nicht zu wundern... 
Dass der integrierende Faktor nur von y abhängt habe icha uch herausbekommen, dazu habe ich eigentlich nur einen Weg aus dem Skript benutzt... Da kam man dann auf einen Wert D(x,y), den hat man durch q(x,y) geteilt, dann durch p(x,y) geteilt und bei letzterem kam dann (3/(1-y)) raus, was dann beudeuten soll, dass der integrierende Faktor nur von y abhängt. Dann habe ich eine Formel aus dem Skript verwandt: [mm] \mu=exp(\integral_{a}^{b}{\bruch{1}{p(x,y)}*(\bruch{dp}{dx}- \bruch{dp}{dy}) dx}
[/mm]
(Das Integral soll unbestimmt sein, das zeichen habe ich nur nicht gefunden...)
Und da kam dann am Ende meine e-Funktion raus...
Vielen lieben Dank schonmal bis hier!
Liebe Grüße!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:24 Mo 12.07.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ja, das meinte ich. Puuh, dann brauche ich mich ja nicht zu
> wundern...
>
> Dass der integrierende Faktor nur von y abhängt habe icha
> uch herausbekommen, dazu habe ich eigentlich nur einen Weg
> aus dem Skript benutzt... Da kam man dann auf einen Wert
> D(x,y), den hat man durch q(x,y) geteilt, dann durch p(x,y)
> geteilt und bei letzterem kam dann (3/(1-y)) raus, was dann
> beudeuten soll, dass der integrierende Faktor nur von y
> abhängt. Dann habe ich eine Formel aus dem Skript
> verwandt:
> [mm]\mu=exp(\integral_{a}^{b}{\bruch{1}{p(x,y)}*(\bruch{dp}{dx}- \bruch{dp}{dy}) dx}[/mm]
>
> (Das Integral soll unbestimmt sein, das zeichen habe ich
> nur nicht gefunden...)
Einfach die Grenzen leer lassen. Du meinst
[mm]\mu=\exp\left(\integral_{}^{}{\bruch{1}{p(x,y)}*(\bruch{dq}{dx}- \bruch{dp}{dy}) d\red{y}}\right)[/mm]
Und wenn ich das einsetze, bekomme ich
[mm] \mu = \exp\left(\integral \bruch{1}{x(1-y)} (2x - (-x)) dy\right) = \exp\left(3 \integral \bruch{1}{1-y} dy \right) = \bruch{1}{(1-y)^3} [/mm].
Viele Grüße
Rainer
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Vielen Dank!
Eine kleine Verwirrung hatte ich noch, die hat sich ausgeräumt und jetzt habe ich die Aufgabe zumindest mit einem halbwegs plausiblen Ergebnis gelöst! Nochmal vielen dank! :)
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