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Forum "Lineare Abbildungen" - exakte abbildungen
exakte abbildungen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Abbildungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

exakte abbildungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:58 Do 22.11.2007
Autor: adrianempen

Aufgabe
Eine Sequenz
[mm] V_{n} \to V_{n-1} \to [/mm] . . . [mm] \to V_{1} \to V_{0} [/mm] , [mm] f_{i} [/mm] : [mm] V_{i} \to V_{i-1} [/mm] , i=1,2,...,n-1,n
von K-Vektorräumen [mm] V_{i} [/mm] und linearen Abbildungen [mm] f_{i} [/mm]  heißt exakt, wenn Ker [mm] f_{i} [/mm] = Im [mm] f_{i+1} [/mm] für i = 1, . . . , n − 1. Zeigen Sie: Ist
0 [mm] \to W_{m} \to W_{m-1} \to [/mm] ... [mm] \to W_{1} \to W_{0} \to [/mm] 0 , [mm] g_{i} [/mm] : [mm] W_{i} \to W_{i-1} [/mm] ,i=1,2,....,m-1,m meine exakte Sequenz endlichdimensionaler K-Vektorräume (0 bezeichnet darinden Nullvektorraum), so gilt:

[mm] \summe_{i=0}^{m} (-1)^{i}*dim W_{i}=0 [/mm]

in der aufgabe stehen die abbildungen immer über den pfeilen, aber das bekomme cih hier nicht hin ... das heißt 0 /to [mm] W_{m} [/mm] und [mm] W_{0} \to [/mm] 0 hat keine abbildungen über den pfeilen .. ich hoffe ihr versteht, wie ich das meine

die summe verkürzt sich ja schön nach dim [mm] W_{i}=dim [/mm] ker [mm] f_{i} [/mm] + dim im [mm] f_{i} [/mm]

dim [mm] W_{0} +(-1)^{m}*dim [/mm] ker [mm] f_{m}=0 [/mm] , und cih nehme mal an, die beiden sumanden sind jeweils null, nur weiß ich nciht so genau, warum ... kann mir da vielelciht jemand einen tip geben?danke

adrian

        
Bezug
exakte abbildungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:44 Do 22.11.2007
Autor: felixf

Hallo Adrian

> Eine Sequenz
>  [mm]V_{n} \to V_{n-1} \to[/mm] . . . [mm]\to V_{1} \to V_{0}[/mm] , [mm]f_{i}[/mm] :
> [mm]V_{i} \to V_{i-1}[/mm] , i=1,2,...,n-1,n
>  von K-Vektorräumen [mm]V_{i}[/mm] und linearen Abbildungen [mm]f_{i}[/mm]  
> heißt exakt, wenn Ker [mm]f_{i}[/mm] = Im [mm]f_{i+1}[/mm] für i = 1, . . . ,
> n − 1. Zeigen Sie: Ist
>  0 [mm]\to W_{m} \to W_{m-1} \to[/mm] ... [mm]\to W_{1} \to W_{0} \to[/mm] 0
> , [mm]g_{i}[/mm] : [mm]W_{i} \to W_{i-1}[/mm] ,i=1,2,....,m-1,m meine exakte
> Sequenz endlichdimensionaler K-Vektorräume (0 bezeichnet
> darinden Nullvektorraum), so gilt:
>  
> [mm]\summe_{i=0}^{m} (-1)^{i}*dim W_{i}=0[/mm]
>  
> in der aufgabe stehen die abbildungen immer über den
> pfeilen, aber das bekomme cih hier nicht hin ... das heißt
> 0 /to [mm]W_{m}[/mm] und [mm]W_{0} \to[/mm] 0 hat keine abbildungen über den
> pfeilen .. ich hoffe ihr versteht, wie ich das meine
>
>  die summe verkürzt sich ja schön nach dim [mm]W_{i}=dim[/mm] ker
> [mm]f_{i}[/mm] + dim im [mm]f_{i}[/mm]

Genau.

> dim [mm]W_{0} +(-1)^{m}*dim[/mm] ker [mm]f_{m}=0[/mm] , und cih nehme mal an,
> die beiden sumanden sind jeweils null, nur weiß ich nciht
> so genau, warum ... kann mir da vielelciht jemand einen tip
> geben?danke

Die Abbildung [mm] $f_m$ [/mm] ist injektiv, da $0 [mm] \to W_m \overset{f_m}{\to} W_{m-1}$ [/mm] exakt ist (was gerade bedeutet, dass das Bild der Nullabbildung $0 [mm] \to W_m$ [/mm] der Kern von [mm] $f_m$ [/mm] ist, womit der Kern von [mm] $f_m$ [/mm] trivial ist).

Allerdings ist [mm] $\dim W_0$ [/mm] im Allgemeinen nicht 0. Du hast dich da wohl irgendwo verrechnet bzw. du hast zuviel/zuwenig weggekuerzt. Ein [mm] $\dim W_0$ [/mm] alleine duerfte auch nicht uebrigbleiben, sondern etwas der Form $ker [mm] f_i$ [/mm] oder $im [mm] f_i$. [/mm] (Ansonsten: wo ist das $Ker [mm] f_1 [/mm] = Im [mm] f_0$ [/mm] geblieben? Dessen Dimension ist naemlich gerade [mm] $\dim W_0$, [/mm] womit die beiden sich aufheben.)

LG Felix


Bezug
                
Bezug
exakte abbildungen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:49 Do 22.11.2007
Autor: adrianempen

ah ja, ok, alles klar, wenn ich eine abbildung von [mm] W_{0} [/mm] nach 0 betrachte, hat die natürlich den kern [mm] W_{0} [/mm] ,also das bild von [mm] f_{1} [/mm] ... und wie du scho nsagtest, ist ,der kern von [mm] f_{m} [/mm] ist trivial ... also ,vielen dank , damit wäre das ganze gelöst. danke.

Bezug
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