existenz einer lösung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:04 So 18.11.2007 | | Autor: | balisto |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
hallo!
ich soll aus der nagumo-bedingung die existenz einer lösung des anfangswertproblemes x'(t)=f(t,x(t)), x(0)=x0 beweisen (dabei ist f stetig).
meine idee ist jetzt folgende:
die nagumo-bedingung lautet ja:
|t| * |f(t,x) - f(t,y)| kleiner gleich |x-y|
da f stetig ist, müsste man doch nur noch zeigen, dass es auch beschränkt ist, denn dann könnte ich ja den existenzsatz von peano anwenden, oder?
aber wie kann ich zeigen, dass es beschränkt ist?
Danke schon mal!
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Hi,
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> hallo!
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> ich soll aus der nagumo-bedingung die existenz einer lösung
> des anfangswertproblemes x'(t)=f(t,x(t)), x(0)=x0 beweisen
> (dabei ist f stetig).
>
> meine idee ist jetzt folgende:
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> die nagumo-bedingung lautet ja:
> |t| * |f(t,x) - f(t,y)| kleiner gleich |x-y|
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> da f stetig ist, müsste man doch nur noch zeigen, dass es
> auch beschränkt ist, denn dann könnte ich ja den
> existenzsatz von peano anwenden, oder?
>
> aber wie kann ich zeigen, dass es beschränkt ist?
bist du sicher, dass du die aufgabe hier komplett angegeben hast? Weil: die existenz einer lokalen loesung kannst du schon aus der stetigkeit von $f$ folgern (peano). stetige funktionen sind ja beschraenkt auf kompakten mengen, wenn du also $f$ auf kompakten mengen betrachtest (was im satz von peano getan wird), so ist es automatisch beschraenkt.
bleibt die frage, was du mit der nagumo-bedingung anstellen sollst. Ist nicht auch nach eindeutigkeit gefragt? und muss f wirklich stetig sein?
gruss
matthias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:35 Mo 19.11.2007 | | Autor: | balisto |
hallo,
wie ich die eindeutigkeit zeigen kann, ist mir klar.
bei der existenz hab ich einfach nicht drangedacht, dass stetige funktionen auf einem kompakten intervall ein maximum annehmen und damit beschränkt sind :P
danke! jetzt ist denk ich alles klar.
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