existiert die Ableitung? < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:18 Do 09.03.2006 | | Autor: | Riley |
| Aufgabe | Hat die Funktion F(x) = f(x) + g(x) eine Ableitung im Punkt a, falls gilt:
(i) f'(a) existiert und g ist nicht differenzierbar an der Stelle a
(ii) weder f noch g sind in a differenzierbar |
brauch mal wieder eure hilfe dieser alten klausuraufgabe...
hab versucht F(x) abzuleiten:
F'(x) = f'(x)+g'(x)
und dann wäre ja F'(a)=f'(a)+g'(a) aber g'(a) existiert ja nicht...
wie muss ich bei dieser aufgabe vorgehen um zu einer lösung zu kommen??
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:25 Do 09.03.2006 | | Autor: | dormant |
Hi!
Die Formel für die Ableitung einer kompositen Funktion, darfst du nur dann anwenden, wenn die einzelnen Funktionen an der Stelle, die du untersuchst differenziebar sind, sonst nicht. Also in diesem Fall gilt NICHT, dass F'(a)=f'(a)+g'(a).
Du musst zeigen, dass der Grenzwert des Differenzenquotienten an der Stelle a für h gegen null existiert, um Diffbarkeit zu beweisen, oder dass er nicht existiert, um sie zu widerlegen.
Gruß,
dormant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:58 Do 09.03.2006 | | Autor: | Riley |
hi dormant, vielen dank für den tipp!
meinst du das so mit dem differentialquotient...?
[mm] $\limes_{x\rightarrow a}\bruch{F(x)-F(a)}{x-a} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow a}\bruch{f(x)+g(x)-f(a)-g(a)}{x-a}$
[/mm]
aber wie komm ich dann weiter?
hab das mit dem h->0 was du geschrieben hast net ganz gecheckt...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:30 Do 09.03.2006 | | Autor: | dormant |
Hi!
Mit h->0 habe ich eine äquivalente Darstellung des Differenzenquotienten gemeint, es unwichtig welche du benutzst.
Nun jetzt bist du fast fertig - man sieht eigentlich schon, dass der Grenzwert nicht existiert. Versuch mal den Bruch auseinander zu ziehen (ohne Zähler, oder Nenner zu verändern) und dann bekommst du zwie Brüche raus. Damit der Grenzwert des ursprünglichen Bruchs existiert, müssen beide Brüche konvergieren. Versuchs mal, wenn es nicht klappt, dann gebe ich dir noch einen Tipp.
Gruß,
dormant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:55 Do 09.03.2006 | | Autor: | Riley |
hmm... :
[mm] \limes_{x\rightarrow\a} [/mm] ( [mm] \bruch{f(x)+g(x)}{x-a} [/mm] - [mm] \bruch{f(a)-g(a)}{x-a}) [/mm]
aber ich glaub ich seh das noch nicht wirklich was du meinst.... ???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:14 Do 09.03.2006 | | Autor: | dormant |
Hi!
Es gibt nur noch zwei Möglichkeiten den Bruch auseinanderzuziehen, ohne Nenner und/oder Zähler zu verändern und die hättest die ausprobieren sollen.
[mm] \bruch{F(x)-F(a)}{x-a}=\bruch{f(x)-f(a)}{x-a}+\bruch{g(x)-g(a)}{x-a}. [/mm] Der Grenzwert vom ersten Bruch existiert, der vom zweiten nicht. Warum?
Dir ist übrigens ein Vorzeichenfehler unterlaufen hier:
> [mm]\limes_{x\rightarrow\a}[/mm] ( [mm]\bruch{f(x)+g(x)}{x-a}[/mm] -
> [mm]\bruch{f(a)-g(a)}{x-a})[/mm]
Gruß,
dormant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:25 Do 09.03.2006 | | Autor: | Riley |
...ah, das ist schlau :) danke dir vielmals!!!
ja der erste grenzwert existiert, weil f'(a) existiert, der zweite nicht da g'(a) nicht existiert, oder...??
und wenn f und g beide nicht in a diffbar sind, dann existieren beide Grenzwerte nicht, richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:33 Do 09.03.2006 | | Autor: | dormant |
> ...ah, das ist schlau :) danke dir vielmals!!!
> ja der erste grenzwert existiert, weil f'(a) existiert,
> der zweite nicht da g'(a) nicht existiert, oder...??
Genau :)
> und wenn f und g beide nicht in a diffbar sind, dann
> existieren beide Grenzwerte nicht, richtig?
Ich weiß es nicht, ich muss mir erst Mal den Quotienten anschauen ;)
Gruß,
dormant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:02 Fr 10.03.2006 | | Autor: | andreas |
hi
zu (ii) kann man die funktionen $f(x) = |x|$ und $g(x) = -f(x)$ für $a = 0$ betrachten.
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:51 Fr 10.03.2006 | | Autor: | Riley |
kann man die (ii) nicht mit hilfe der beiden gleichen grenzwerte (wie bei (i)) beantworten? ...
weil wenn f'(a) nicht ex. und g'(a) nicht ex., dann existieren die grenzwerte nicht und somit F'(a) auch nicht... oder kann man das so nicht sagen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:14 Fr 10.03.2006 | | Autor: | statler |
...kann aber auch nicht sein!
Hallo Riley,
nimm mal |x| und -|x|, die sind beide in 0 nicht diffbar, aber die Summe ist es!
Aber ich kann natürlich mit Sprungfunktionen auch Beispiele finden, wo die Summe nicht einmal stetig ist.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:51 Fr 10.03.2006 | | Autor: | Riley |
achso..... many thx4help! d.h. die antwort auf die frage ist, dass man im Allgemeinen gar keine Aussage treffen kann?? ... das ist ja tricky...
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