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| Aufgabe | Gibt es eine lineare Abbildung [mm] \mathbb{R} ^4 \rightarrow \mathbb{R} ^3 [/mm], die die folgenden Vektoren [mm] a_i \in \mathbb{R} ^4 [/mm] jeweils auf die angegebenen Vektoren [mm] b_i \in \mathbb{R} ^3 [/mm] abbilden:
[mm] a_1=(1,0,1,1),
a_2=(0,1,1,1),
a_3=(-1,1,0,0),
b_1=(0,1,2),
b_2=(1,2,0),
b_3=(1,1,-2) [/mm] |
Hallo,
also die Herangenhensweise an diese Aufgabe ist mir klar.
Im Prinzip suche ich eine Matrix A, so dass A[mm]\cdot a_i=b_i[/mm] gilt.
Dazu muss ich dann die jeweiligen Zeilen der Matrix berechnen.
Dazu mache ich ein LGS:
[mm] x_1+x_3+x_4=0 [/mm]
[mm] x_2+x_3+x_4=1 [/mm]
[mm] -x_1+x_2=1 [/mm]
und analog für die anderen Zeilen.
Wenn ich dieses LGS jedoch lösen will, bekomme ich am Ende immer wahre Aussagen, also 1=1 (und das passiert in jedem LGS für jede Zeile).
Was bedeutet das? Dass es unendlich viele Abbildungen gibt?
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> Gibt es eine lineare Abbildung [mm]\mathbb{R} ^4 \rightarrow \mathbb{R} ^3 [/mm],
> die die folgenden Vektoren [mm]a_i \in \mathbb{R} ^4[/mm] jeweils
> auf die angegebenen Vektoren [mm]b_i \in \mathbb{R} ^3[/mm]
> abbilden:
>
> [mm]a_1=(1,0,1,1),
a_2=(0,1,1,1),
a_3=(-1,1,0,0),
b_1=(0,1,2),
b_2=(1,2,0),
b_3=(1,1,-2)[/mm]
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> Hallo,
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> also die Herangenhensweise an diese Aufgabe ist mir klar.
> Im Prinzip suche ich eine Matrix A, so dass A[mm]\cdot a_i=b_i[/mm]
> gilt.
>
> Dazu muss ich dann die jeweiligen Zeilen der Matrix
> berechnen.
> Dazu mache ich ein LGS:
> [mm]x_1+x_3+x_4=0[/mm]
> [mm]x_2+x_3+x_4=1[/mm]
> [mm]-x_1+x_2=1[/mm]
>
> und analog für die anderen Zeilen.
> Wenn ich dieses LGS jedoch lösen will, bekomme ich am Ende
> immer wahre Aussagen, also 1=1 (und das passiert in jedem
> LGS für jede Zeile).
>
> Was bedeutet das? Dass es unendlich viele Abbildungen gibt?
Hallo T-sleeper,
offenbar sind die Vektoren [mm] a_i [/mm] linear abhängig,
denn es gilt
[mm] a_2=a_1+a_3
[/mm]
Wären die Vektoren [mm] b_i [/mm] untereinander linear unab-
hängig, so könnte es keine lineare Abbildung A mit
A[mm]\cdot a_i=b_i[/mm] für alle i geben.
Da im vorliegenden Fall aber für die Vektoren [mm] b_i
[/mm]
genau dieselbe Abhängigkeit
[mm] b_2=b_1+b_3
[/mm]
besteht, gibt es natürlich mindestens eine solche
Abbildung. Es gibt sogar unendlich viele, wie man
folgendermassen einsehen kann: Wählen wir für
[mm] \IR^4 [/mm] eine Basis, welche aus [mm] a_1, a_2 [/mm] und zwei
beliebigen weiteren, aber von [mm] a_1 [/mm] und [mm] a_2 [/mm] unabhängigen
Vektoren [mm] a_4, a_5 [/mm] besteht. Dann kann man eine lineare
Abbildung definieren mit [mm] A*a_i=b_i [/mm] für [mm] i\in\{1,2,4,5\}.
[/mm]
Dabei sind die Bildvektoren [mm] b_4 [/mm] und [mm] b_5 \in \IR^3 [/mm]
sogar beliebig wählbar. Die Bedingung [mm] A*a_3=b_3 [/mm] wird
der Linearität und der bestehenden Abhängigkeiten
wegen automatisch erfüllt.
LG
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okay dankeschön.
Dann reicht mein Rechenweg also noch nicht aus, um sagen zu können, dass es unendlich viele Abbildungen gibt, oder?
Denn, wenn das LGS an einer Stelle widersprüchlich ist, kann ich ja auch sagen, dass keine lineare Abbildung existiert.
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> okay dankeschön.
> Dann reicht mein Rechenweg also noch nicht aus, um sagen
> zu können, dass es unendlich viele Abbildungen gibt, oder?
>
> Denn, wenn das LGS an einer Stelle widersprüchlich ist,
> kann ich ja auch sagen, dass keine lineare Abbildung
> existiert.
Auf Widersprüche bist du ja nicht gestossen.
Wenn man beim Lösen von Gleichungssystemen
auf Gleichungen wie 1=1 stösst, ist dies ein
Indiz dafür, dass es unendlich viele Lösungen
geben könnte.
Ich habe dann versucht - obwohl ich ja dein
gesamtes Gleichungssystem nicht gesehen
habe und nicht einmal weiss, was genau du
mit den [mm] x_i [/mm] bezeichnet hast, die Frage durch
eine prinzipielle Betrachtung zu klären ...
LG al-Chw.
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