exp.funktion/komplexe Zahlen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:34 Do 20.10.2011 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
warum gilt
[mm] |\summe_{k=1}^{n}e^{ixk}|= |\bruch{e^{inx}-1}{e^{ix}-1}| [/mm]
mit [mm] \delta \le x\le2\pi -\delta [/mm] und [mm] \delta \in (0,\pi)? [/mm]
Ich habe es mit Hilfe der geometrischen Reihe versucht, die linke Seite aufzuschreiben. Jedoch dann ist die linke Seite mit der rechten Seite ungleich
(ohne Betragsstriche gesehen !). Ich denke, dass das nicht heißt, dass auch mit Betragsstrichen die beiden Seiten nicht gleich sind. Jedoch diese Gleichung ist "nur" ein Zwischenschritt in einer Gleichungs(Ungleichungs)kette in Forster, der nicht genauer erklärt wird. Deshalb denke ich, dass die Gleichung wahrscheinlich nicht so kompliziert sein muss. Ich sehe jedoch trotzdem nicht , warum diese gilt.
Gruss
Igor
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:46 Fr 21.10.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich würde das geometrisch lösen. Links hast du lauter Zahlen auf dem Einheitskreis stehen, die alle um den Winkel x verschieden sind. wenn du sie aufsummierst liegen sie alle auf einem Kreis, dessen Radius man aus x bestimmen kann die Summe ist dann die Sehne in dem Kreis.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:02 Fr 21.10.2011 | | Autor: | Igor1 |
Hallo leduart,
danke Dir für den Vorschlag!
Ich denke, dass es hier bestimmt einen Weg gibt, wie man die Gleichung analytisch zeigen kann.
Dieser würde mich sehr interessieren.
Gruss
Igor
|
|
|
| |
|
Hallo Igor,
> Hallo leduart,
>
> danke Dir für den Vorschlag!
>
> Ich denke, dass es hier bestimmt einen Weg gibt, wie man
> die Gleichung analytisch zeigen kann.
> Dieser würde mich sehr interessieren.
Nutze die Formel für die endliche geometrische Reihe:
[mm]\sum\limits_{k=1}^{n}e^{ixk}=\sum\limits_{k=1}^{n}\left(e^{ix}\right)^k=\frac{\left(e^{ix}\right)^{n+1}-1}{e^{ix}-1}-1=\frac{e^{ix(n+1)}-e^{ix}}{e^{ix}-1}=e^{ix}\cdot{}\frac{e^{inx}-1}{e^{ix}-1}[/mm]
Nun schaue dir den Betrag davon an ...
>
> Gruss
> Igor
>
>
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:44 Fr 21.10.2011 | | Autor: | Igor1 |
Hallo schachuzipus,
für die endliche geometrische Reihe gilt :
[mm] \summe_{k=0}^{n}x^{n}=\bruch{1-x^{n+1}}{1-x}
[/mm]
[mm] \summe_{k=1}^{n}x^{n}=\bruch{1-x^{n+1}}{1-x}-1
[/mm]
Aber das stimmt nicht überein, mit dem, was Du gepostet hast.
(Eigentlich die Reihenfolge: bei Dir steht im Zeller und Nenner jeweils
Monom-1 , und bei mir steht 1-Monom).
Woher kommt der Unterschied?
Gruss
Igor
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:54 Fr 21.10.2011 | | Autor: | ullim |
Hi,
[mm] >\summe_{k=1}^{n}x^{n}=\bruch{1-x^{n+1}}{1-x}-1
[/mm]
Das kann man auf einen Nenner bringen und x ausklammern dann steht da
[mm] x*\bruch{1-x^n}{1-x} [/mm] und dann mit (-1) erweitern ergibt [mm] x*\bruch{x^n-1}{x-1} [/mm] und dann x durch [mm] e^{ix} [/mm] ersetzen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:11 Fr 21.10.2011 | | Autor: | Igor1 |
Hallo ullim,
Danke, das hat geholfen !
Gruss
Igor
|
|
|
|
